No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
>>>上の段のXと2は指数です。わかりづらくてすいません
9^x + 2a・3^x + 2a^2 + a - 6 = 0
と書くと良いですよ。
t = 3^x と置くと、
9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2
なので、
t^2 + 2at + 2a^2 + a - 6 = 0
また、t = 3^x であり、3^0 = 1 なので
x>0 のときは t>1
x<0 のときは t<1
つまり、この問題は、
t^2 + 2at + 2a^2 + a - 6 = 0
が、1より大きい解と1より小さい解を1つずつ持つときの
aの範囲を求めよ
という問題にすり返ることができました。
ここまで来れば、なんとかなるでしょう。
No.2
- 回答日時:
#1さんの回答に、少し補足します。
(結構、重要なポイントですので)
>x<0 のときは t<1
0<t<1となります。(3^x自身、負の数になることはありません。)
すると
>1より大きい解と1より小さい解を1つずつ持つときの
0と1の間に1つの解をもち、もう1つの解は1よりも大きい
ということになります。
あとは、y= f(t)のグラフを考えてみて、必要な条件を与えられれば aの範囲は求まります。
答えは、「結構狭い」範囲になると思います。
No.3
- 回答日時:
久しぶりに数学をやるので合っているか定かではないのですが、
注 ^は次の数が指数ということです。
まず3^Xをわかりやすく別の文字Aとおきます。
ここで注意点
A=3^Xとおいたことで
3^X>0なので同様にA>0となります。
すると与式は
A^2+2aA+2a^2+a-6=0…*
となります。
ここで*は二次関数という事に気づくと思います。
そして問題文から、Xが正負の解をひとつずつ持つということで、同様にAも二つの解を持つので、二次関数*の判別式が正になり、解を二つ持てばいいと考えられます。
しかし、A≠0なのでA=0になる場合を除いて、
よって
-3<a<2 但しa=-2及び3/2を除く。
ではないでしょうか?
簡略化の為、途中式は省略させていただきました。
間違っていたらすみません。
長文失礼しました。
No.4
- 回答日時:
3^x=t(>0)とおくと与方程式は次のようになる。
t^2+2at+(2a-3)(a+2)=0 …(1)
変形して
f(t)=(t+a)^2+(a-2)(a+3)=0 …(2)
xが正根と負根を持つということは
(1)の方程式のtで言えば1より大きい根と小さい根をもつということですから、f(1)<0であれば良い。
f(1)=(1+a)^2+(a-2)(a+3)=2a^2+3a-5=(a-1)(2a+5)<0
∴-5/2<a<1
なお、質問者さんの方で上記の導出過程をフォローして確認してみてください。
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