痔になりやすい生活習慣とは?

y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回転体の体積を求めよ。 積分を用いて計算するのではとは思いますが、y周りの場合はどうすればよいのでしょうか。

A 回答 (3件)

求める体積をVとおくとV=∫[0→1]πx^2 dy


ここで,dy=-sin x dx,y:0→1のときx:π/2→0であるから
V=∫[π/2→0]πx^2・(-sin x)dx=π∫[0→π/2]x^2・sin x dx
あとは部分積分法を2回適用すれば求まる。
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分かると思うけど、ひどい間違いなので...



x軸の周りの回転なら適当な積分区間で∫(πy^2)dx
y軸の周りの回転なら適当な積分区間で∫(πx^2)dy

ですね。
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まったく同じように考えるだけです。


x軸の周りの回転なら適当な積分区間で∫(πx^2)dx
y軸の周りの回転なら適当な積分区間で∫(πy^2)dy
ですね。
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Q回転体の体積(y軸の周りに回転)

初級公務員の問題なのですが、解き方が分からず困っております。

放物線y=x^2-4(^2=2乗)とx軸とで囲まれた部分をx軸、y軸の周りに回転して得られる立体の体積を求めよ。
答え x軸:(512/15)×π
    y軸:8π

x軸に関しては公式が載っていたので分かったのですが、y軸に関しては答えしか載っていなく、解き方が分かりません。
皆様、どうぞご回答を宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

x軸まわりは、π∫y^2dxでしたから、

y軸まわりは、π∫x^2dyで求められます。

π∫[-4,0] x^2dy
=π∫[-4,0] (y+4)dy
=π[y^2/2+4y][-4,0]
=π(-8+16)
=8π

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qy=sinx (0<x<2π) y軸回転の体積

y=sinx (0<x<2π)をy軸回転させた時の体積の出し方を詳しめに教えていただけませんか?
どうかよろしくお願いいたします。
分からなくて困っています。

Aベストアンサー

No.1&2です。

なるほど、「バウムクーヘン」ですね。

「x~x+dx の部分」をぐるっと一周させると、
 高さ:|sin(x)|、幅(円周):2パイx、厚さ:dx
の「バウムクーヘンの一層分」の体積になります。
「バウムクーヘン」の「一層分」を、丸まっているものを横に平らに伸ばしたイメージです。

このxを、0~2パイ にわたって積分する(「バウムクーヘン」の各層の体積を足し合わせる)ことにより
 V = ∫[0~2パイ][ 2パイx |sin(x)| ]dx
  = 2パイ∫[0~パイ][ x*sin(x) ]dx + 2パイ∫[パイ~2パイ][ -x*sin(x) ]dx
  = 2パイ∫[0~パイ][ x*sin(x) ]dx - 2パイ∫[パイ~2パイ][ x*sin(x) ]dx

ここで、「部分積分」を使うと
  ∫x*sin(x)dx = ∫x*( -cos(x) )' dx = -x*cos(x) + ∫x'*cos(x)dx
        = -x*cos(x) + ∫cos(x)dx
        = -x*cos(x) + sin(x)
ですから
 V = 2パイ[ -x*cos(x) + sin(x) ][0~パイ] - 2パイ[ -x*cos(x) + sin(x) ][パイ~2パイ]
  = 2パイ[ パイ + 0 ] - 2パイ[ -パイ - 0 ]
  = 4パイ^2

かな?

No.1&2です。

なるほど、「バウムクーヘン」ですね。

「x~x+dx の部分」をぐるっと一周させると、
 高さ:|sin(x)|、幅(円周):2パイx、厚さ:dx
の「バウムクーヘンの一層分」の体積になります。
「バウムクーヘン」の「一層分」を、丸まっているものを横に平らに伸ばしたイメージです。

このxを、0~2パイ にわたって積分する(「バウムクーヘン」の各層の体積を足し合わせる)ことにより
 V = ∫[0~2パイ][ 2パイx |sin(x)| ]dx
  = 2パイ∫[0~パイ][ x*sin(x) ]dx + 2パイ∫[パイ~2パイ][ -x*sin(x)...続きを読む

Q高校数学です。0は全ての整数の倍数なんですか

(例えば2は0の倍数なんですか)?調べてみるといろいろ意見が割れてました。

Aベストアンサー

はい。全ての整数の倍数です。

まず、0は整数です。
また、倍数は整数と整数の積と定義されています。

どのような整数に0をかけても0になります。

したがって、どのような整数の倍数も、必ず0を含むことになります。


因みに、自然数倍や正の倍数といった制約が付いている場合には0は含まれません。

Qeのマイナス無限大乗

lim(t→∞) 1-e^(-t/T)
T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
数学的に1になる理由が分かりません。

e^(-∞)=0になる理由を数学的に教えてください。

Aベストアンサー

e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
だから

Q0の階乗はなぜ1になるのですか?

手元にある本に、0の階乗は深い理由により1になる、
と書かれてあるのですが、これはなぜこうなるのでしょうか?

普通に考えると0になると思うのですが。

ガンマ関数の導出の仕方を勉強しなければ分からないことなのでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんわ

他人のふんどしですが、
Wikipediaには二通りの苦しい解釈が挙げられていますね。

「(n-1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、
あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、など」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

Q証明終了の記号。

証明が終わったという記号は、どんなものがあるのでしょうか?

調べたところ、QED、■、//があるということですが、手書きの場合だと、個人的な意見としては、//が書きやすいです。

ですが、よく使われるのは、QEDなのでしょうか?
最近の流行りがあるのであれば、どれが一般的なのか知りたいです。

Aベストアンサー

どれも非常によく使われますが、
どれを使っても ダサい ことに変わりはありません。
証明を書いたのと同じ言語で、「証明終了」とか
"That was to be proved." とか、書いておくのが
自然だと思います。証明をラテン語で書いたのなら、
"quod erat demonstrandum" ですね。

Q電圧と電位差の違いを教えてください。

電圧と電位差の違いを教えてください。

Aベストアンサー

.

Q面積を表す文字になぜSをつかうことが多いのか

タイトルどおりの質問です。職場で突然、話題になりました。現在、スクエアの頭文字では、という意見が優勢です。いろいろな説があるのかもしれませんが、「何々では」という予想ではなく、それなりに根拠がある由来をご存知の方、ぜひ教えてください。

Aベストアンサー

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年,p114参照)

1つは原始的な方法で、既にアルキメデスの時代から知られている、
「図形を細かく分けて、直線で囲む形にして近似し、足し合わせる」という、いわゆる区分求積法です。

この足し合わせるという語は、英語などではsumとかsummationといいます。
そして、後述するライプニッツおよびニュートンによる微積分学以降、
離散量あるいは有限個のものの和を表すのに、この頭文字Sに対応するギリシャ語のアルファベットΣが使われ、
「一つ一つの分割をS1,S2,S3,・・・とおけば、全体の面積S=ΣSi」
という数学記法上の慣習として広まったものです。

つまり、Sを、sumあるいはsummationの頭文字であるとする根拠がここにあります。そして、今では、曲線図形でない場合でも広く一般的に、図形の面積を表すのにSは利用されています。もちろん、面積をSとおくというのは、規則でも強制でもありません。

さて、もう1つ、曲線図形の面積を求める現代的な方法は、積分を使う方法です。
これは、上記のS=ΣSiという表現式で、i=1,2,・・・という分割を無限に続けたときの極限値をもって、その図形の面積とするというものです。
その場合、極限値が存在するなら、各Siは、連続量S(x)に書き換えられて、S=∫S(x)dxと表現されます。
そして、この積分記号(インテグラル記号∫)は、ライプニッツの提案によるもので、
離散量の和の記号Σに対応して、連続量の和として、これまた和を意味するSを縦に伸ばした、イメージ的にも優れた記号と言えます。この事実は、
たとえば、ホームページでは
http://www.nikonet.or.jp/spring/integral/print3.htm
書籍では、
船山良三「身近な数学の歴史」東洋書店,1991,pp.308-313.
などでも述べられています。

ところで、面積がSで表されている場合、書き手によっては、ある「領域(sphere)」の面積を表すという意味で、sphereの頭文字Sを使ったということはあり得ることです。
しかし、残念ながら、squareやsurfaceの頭文字であるとするのは、特別の場合を除いて可能性は低いと考えられます。

一般に、数学の文献では、
「面積」には、通常areaを使います。また、四角形の面積には area of square を、円柱の側面積には surface atea of cylinder を使います。つまり、squareは四角、surfaceは曲面の意味です。
これらは、文献では、
William Dunham"The Mathematical Universe",Wiley,1994.
ホームページでは、
http://www.communicatejapan.gr.jp/yuki/algebra/wordsbook.htm
http://www.monjunet.ne.jp/PT/sampo/006.htm
などでも示されています。

以上、補足です。

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年...続きを読む

Q1÷0の答えを教えて下さい

子供に1÷0はいくつと聞かれゼロでしょと答えたら
姪っこに無限大だと言われました。
確かに小さい数で割れば答えは大きくなるのでゼロで
割れば無限に大きな数となるのかも知れないのですが
自分のあやふやな記憶ではゼロで割ったらゼロになると
教えられたような・・・。
検索してみたのですが難しい理論がずらずら並びいったい
正解はなんなのか良くわかりません。
「計算不能」なのか「無限大」なのか「ゼロ」なのか。
どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

「0で割る」ことについて書かれているサイトを紹介しますね。
そのサイトによると、
----------------------------------------
数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます.
つまり、
「0 で割る計算は定義しない」
のです.
----------------------------------------
とあります。

私は、高校で数学を学んだのですが、
分数で、分子が0を除く数(正確には実数)で、分母を限り無く0に近付けたとき、その分数は「無限大へ向う」(正確には「無限大に発散する」)と教わりました。
※分子とは、分数の上にのっかってる数
 分母とは、分数の下にある数 

これは、高校で習う「数学?の極限」という分野で出てくるお話です。

分数において、「分母を0にした場合の値は定義されてない」であり、また、「分数を限り無く0に近付けた時に、どんな値になるかというのは、考えることができる」ということなんです。

何かのお役に立てれば幸いです。

参考URL:http://www.uja.jp/contents/math/divbyzero.html

「0で割る」ことについて書かれているサイトを紹介しますね。
そのサイトによると、
----------------------------------------
数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます.
つまり、
「0 で割る計算は定義しない」
のです.
----------------------------------------
とあります。

私は、高校で数学を学んだのですが、
分数で、分子が0を除く数(正確には実数)で、分母を限り無く0に近付けたとき、その分数は「無限大へ向う」(正確には「無限大に発散する」)と教わりました...続きを読む


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