√と±の問題についてわかりました！この認識で合ってますか？

Question

４の平方根は？
±２

√４は？
√４＝２

ｘ＾２＝４
　　ｘ＝±２

（ｘ＋１）＾２＝４
　　　　ｘ＋１＝±２
　　　　　　ｘ＝１、－３

つまり、未知数が出てくる方程式だと、ｘ＾２、ｘ＋１＾２の部分に√をかぶせて、それを取るときに、ｘ、ｘ＋１がプラスかマイナスか分からないので、どっちもあるので右辺に±を付けているんですね。
これが√４＝±２？のように誤解される原因のひとつになっていると思います。

√a＾２が出てきて、それをaにするときにのみ±の表記が出てくるんだと思います。どうですか？

cyototu · Accepted Answer

私が＃５書いている間に＃４の反応があったので、その方に数学って何だか教えてあげます。

殆どの場合、曖昧な記号を使っても誤解が起こらない。そう言う場合には、鉛筆の芯やインクやノートの紙を節約するために、正確な情報の一部を落した省略形を使っても、間違った結論を導くような問題は殆どおこらない。

ところが、この曖昧さが深刻な問題を起こすこともあるのです。例えば、何故、リーマンがリーマン面という概念を導入したことが、現代数学に取ってそんなに重要なのかを理解するには、この曖昧さということの意味が分からないと、とんでもない誤解をしてしまいます。
我々は、普段、余り深く意味を考えずに関数という言葉を使っている。ところが、本来、関数とは一価関数のことであり、多価性があると関数の値が定義出来なくなってしまうので、深刻な問題になってしまう。値が定まらないと言う意味で、多価関数という言葉は、厳密な意味では意味を成さない言葉なのです。

事実、微積分などの解析学が進歩して来た時に、リーマンの時代に、そのことが深刻な問題になって来ました。そのとき、リーマンは、複素平面の中に切断、及び解析接続という概念を導入することによって、現在ではリーマン面と呼ばれる多葉な複素平面を導入しておけば、今まで多価関数と呼ばれた物がそのリーマン面上の一価関数として定義できることを発見した。そのお陰で、数学者は、関数とに一つの正確な値を付与することが出来ることが判るようになり、数学の世界から関数という概念を放棄する必要がないことが、厳密に明らかになったのです。だから、リーマン面は重要なのです。

ほとんどの場合は、本来矛盾した言葉である「多価関数」という言葉を使っていても問題を起こすことは滅多にありません。しかし、物理学では、この解析接続の概念を十分に使いこなすことができず、ただ単に多価関数として荒っぽい概念だけで計算していると、物理現象に矛盾した意味の無い値を導き出してしまうことが、日常茶飯事に起こってしまいます。特に古典力学や量子力学での不安定性の問題を取り扱う時には、このリーマン面による一価性と言う概念をきちっと理解しておらず、多価関数という言葉をそのまま正確な概念であると誤解しているような初学者は、大抵の場合計算間違いをしています。そんな初学者に数学とは何であるのかを一から教え直さなくてはならない先生は大変です。

ここの質問者さんは、平方根という概念の多価性に気付き、そこから来る混乱をどう理解したら良いのかを自ら考え始めたことは、ある意味で、リーマンに匹敵した閃きを持った方だと私は評価致します。

それに対して、多価関数なんて、日本のどの教科書にも書いてあってそれを使っているのにのに、アメリカでは違うんですかね、なんて言う人は、数学の試験では良い点を取ることが出来るかもしれませんが、まだどこにも書いていないような、そしてまだ誰も考えたことが無いような問題を解くのは、大変じゃないですかね。まさか、それが日本とアメリカの違いじゃないでしょうね。

OKXavier · Answer

ANo.1さんの

>>４の平方根は？
>誤：±２
>正：2

は,間違いかと。

４の平方根は2,-2です。
平方根４（√2）は2です。
質問者さんの答えでいいと思う。

alice_44 · Answer

＞ それに対して、多価関数なんて、日本のどの教科書にも書いてあってそれを使っているのに、
＞ アメリカでは違うんですかね、なんて言う人は

なんだ、日本語も書けるんじゃない。読むほうは poor なようだが。
強引に、話を斜向かいの方向へ持っていこうとしてみても、
君が噛み付いた No.2 には、日本の中学の教科書には
二次方程式の解は二個あると書いてある…と書いてあるだけだ。
質問者も、平方根と根号の区別を確認しているだけで、
だれも√を多価関数で扱う話などしていない。
我田引水は如何にもアメリカらしい…といえば、確かにそうだが。

cyototu · Answer

＃３で書き忘れたことある。誤解されないように、付け足しておくあるね。

x = ±２

は、
　x = ＋２　又は、－２

の省略形あるね。あくまで、省略形。でも、ほとんどの場合この省略形で誤解する人いない。

貴方は、私の日本語おかしい言う思うが、貴方の日本語だって、正確には「認識」じゃなくって、「理解」が正解。だから、別な意味で、おかしいあるね。だけど皆この間違った使い方で、誤解する人いない。x = ±２の記法もそれと似たレベルの嘘書きあるね。

alice_44 · Answer

(x+1)^2 = 4　⇔　±(x+1) = 2
を「嘘書き」だという人が「数学を普段から使う専門家」？
日本の教程だと、中学一年を終了していないことになるが、
アメリカだと。そんなものなのかな。

cyototu · Answer

私、数学を普段から使う専門家。あなたの考え正しいあるね。√４は一つしか値ない。だから√４＝－２は間違いあるね。

時々、

±(x+1) = 2
でも構わない訳だが…

いう人あるが、その人、数学以外の工学や物理学の人達の間の一時的な約束ごとだ言うことに気付いていないあるね。易しい計算のときは、暗黙の了解で嘘書いても、殆どの場合、間違いないある。だから、数学者でも、余りにも自明なときはそんな嘘書きすることもあるね。でも、そんなのを正しいと本気で考える人、込み入った計算するときいつも間違いするある。私そう言う人沢山見て来た。これ、本当あるよ。

私、アメリカにもうウン十年住んでいる日本人あるが、私の英語、アメリカ人から聞きくと、未だにこんな英語話しているあるね。だから、日本に住んでいる外国人の日本語、日本の人笑わないでくださいあるね。

alice_44 · Answer

何が言いたいのだろう？
別に、
　±(x+1) = 2
でも構わない訳だが…

info22_ · Answer

>４の平方根は？
誤：±２
正：2

>√４は？
>√４＝２　
正解

>ｘ＾２＝４
>　　ｘ＝±２
正解

>（ｘ＋１）＾２＝４
>　　　ｘ＋１＝±２
>　　　　　　ｘ＝１、－３
正解

>√(a^2)が出てきて、それをaにするときにのみ±の表記が出てくるんだと思います。どうですか？
√(a^2)=|a|

a=0なら|a|=a=0

a>0なら|a|=a

a<0なら|a|=-a

変数を扱うときだけ注意すべきです。

√と±の問題についてわかりました！この認識で合ってますか？

私が＃５書いている間に＃４の反応があったので、その方に数学って何だか教えてあげます。

ANo.1さんの

＞ それに対して、多価関数なんて、日本のどの教科書にも書いてあってそれを使っているのに、

＃３で書き忘れたことある。

(x+1)^2 = 4 ⇔ ±(x+1) = 2

私、数学を普段から使う専門家。

何が言いたいのだろう？

>４の平方根は？

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＞それに対して、多価関数なんて、日本のどの教科書にも書いてあってそれを使っているのに、

(x+1)^2 = 4　⇔　±(x+1) = 2