２次不等式 ax^2 - bx - a^2 + 8 ＞0 の解が - 1/3 ＜x＜2 のとき，定数

２次不等式 ax^2 - bx - a^2 + 8 ＞0 の解が

- 1/3 ＜x＜2 のとき，定数 a，b の値を求めよ。

という問題が全然わかりません。

わかる方、わかりやすく解説お願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/24 20:41

＞解が　- 1/3 ＜x＜2 のとき

それは
　x + 1/3 > 0
　x - 2 < 0
なので
　(x + 1/3)(x - 2) < 0
の解であるということです。
これは、k<0 に対して
　k(x + 1/3)(x - 2) > 0　　　　①
と書けます。

①を展開すれば
　kx^2 - (5/3)kx - (2/3)k > 0　　　②

これと与式を比較すれば
　a = k　　　　　③
　b = (5/3)k　　　④
　-a^2 + 8 = -(2/3)k　　　⑤
これを解けばよいです。

③を⑤に代入して整理すれば
　-a^2 + 8 = -(2/3)a
→　3a^2 - 2a - 24 = 0
これを解の公式で解けば
　a = [1 ± √(1 + 72)]/3 = (1 ± √73)/3
a=k<0 なので
　a = (1 - √73)/3

④より
　b = 5(1 - √73)/9

この回答へのお礼

理解できました！！
わかりやすい解説を丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2023/12/27 01:53

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/26 10:47

上下限があるってことは a < 0 は明白

a(x+1/3)(x-2) > 0
となるはず。左辺ばらすと

ax^2 - (5/3)ax - (2/3)a

これと

ax^2 - bx - a^2 + 8

を係数比較すると

-(5/3)a = -b　①
-(2/3)a = -a^2 + 8 → a^2 - (2/3)a - 8 = 0 ②

②から
a = (1/2)(2/3 ±√((2/3)^2 + 8・4))=(1/3)(1±√(73))

だが、a < 0 だから
a = (1/3)(1-√(73))

①に代入して
b = (5/9)(1-√(73))

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/12/24 21:56

ax²-bx-a²+8=0 の解が x=-1/3, 2 と言う事と考え方は一緒です。

この場合は ax²-bx-a²+8=a{x+(1/3)}(x-2)=0 になりますので、
質問の式では a{x+(1/3)}(x-2)>0 となりますが、
a<0 で a{x+(1/3)}(x-2)<0 を展開して 係数の比較をします。
計算は ご自分で確認してください。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/24 20:14

-1/3<x

↓両辺に3をかけると
-1<3x
↓両辺に1を加えると
0<3x+1…(1)

x<2
↓両辺に-xを加えると
0<2-x
↓これと(1)をかけると
0<(3x+1)(2-x)
0<-3x^2+5x+2
↓両辺にc>0をかけると
0<-3cx^2+5cx+2c
↓これと　0<ax^2-bx-a^2+8　が一致するから
a=-3c
-b=5c
-a^2+8=2c
↓これにa=-3cを代入すると
-9c^2+8=2c
9c^2+2c-8=0
c^2+2c/9-8/9=0
(c+1/9)^2-1/81-8/9=0
(c+1/9)^2-73/81=0
(c+1/9)^2=73/81
c+1/9=√73/9
c=(√73-1)/9
∴
a=(1-√73)/3
b=5(1-√73)/9

No.2 回答者： __vv00vv__ 回答日時： 2023/12/24 18:22

- (x + 1/3)(x - 2) を展開すれば解けるんじゃないかと思います!

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2023/12/24 18:19

教科書を読み直してください。

教科書以上に分かりやすい回答は、ここでは得られません。