No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>これはまずyをxの関数としてあらわす必要があるのでしょうか?
表す必要はありません。
>面積 ∬D dxdy
S=∬D dxdy
=∫[-π,π] {∫[0,y(θ)} 1 dy}dx
=∫[-π,π] y(θ)(dx/dθ)dθ
ここで y=y(θ)=1+cosθ
dx/dθ=(θ+sinθ)'=1+cosθ
を代入すれば積分は媒介変数θだけの積分になりますね。
つまり
S=∫[-π,π] (1+cosθ)^2 dθ
偶関数の積分なので区間[-π,0}の積分と区間[0,π}の積分は等しくなるので
S=2∫[0,π] (1+cosθ)^2 dθ
で計算すれば良いです。
被積分関数は次のように変形できるので項別積分すれば良いでしょう。
(1+cosθ)^2=1+2cosθ+cos^2θ=1+2cosθ+(1/2)(1+cos2θ)
=(3/2)+2cosθ+(1/2)cos(2θ)
S=2∫[0,π](3/2)dθ+2∫[0,π] 2cosθdθ+2∫[0,π](1/2)cos(2θ)dθ
この積分なら出来ますね。
やってみて下さい。
S=3π となればOKです。
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