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f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください

fxxから本当に分からないので教えてください

回答よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

積の微分の公式 (uv)’=u’v + uv’ を繰り返し使います。



E=e^(xy+2y^2)
とおくと
f=xE
Ex=yE
Ey=(x+4y)E

fx
=E+xEx
=(1+xy)E

fxx
=yE+(1+xy)Ex
=yE+(1+xy)yE
=y(2+xy)E

fxy
=xE+(1+xy)Ey
=xE+(1+xy)(x+4y)E
={x+(1+xy)(x+4y)}E

fy
=xEy
=x(x+4y)E

fyy
=x・4・E+x(x+4y)Ey
=4xE+x(x+4y)^2E
=x{4+(x+4y)^2}E

この回答への補足

回答ありがとうございます

fyyのx・4・Eの部分の4ってどうやって出たのですか?

教えてください

補足日時:2010/08/30 16:45
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基本は


積の微分公式を使用すること

微分する変数だけで微分すること(偏微分のこと)
です。

fyyの場合であれば以下の通り計算すれば良い。

fy=∂xe^(xy+2y^2)/∂y=x∂e^(xy+2y^2)/∂y=x{e^(xy+2y^2)}∂(xy+2y^2)/∂y
=x{e^(xy+2y^2)}∂(xy+2y^2)/∂y
=x{e^(xy+2y^2)}(x+4y)
=(x^2+4xy)e^(xy+2y^2)
fyy=∂(fy)/∂y=(∂(x^2+4xy)/∂y)e^(xy+2y^2)+(x^2+4xy)∂(e^(xy+2y^2))/∂y
=4xe^(xy+2y^2)+(x^2+4xy)(e^(xy+2y^2))∂(xy+2y^2)/∂y
=4xe^(xy+2y^2)+(x^2+4xy)(e^(xy+2y^2))(x+4y)
={4x+(x^2+4xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2)
=x{4+(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)
    • good
    • 0

割り込みで,失礼します.



>>fyyのx・4・Eの部分の4ってどうやって出たのですか?

fy=x(x+4y)E,     E=e^(xy+2y^2)

を y で偏微分すると,(偏微分を ’で書きます)

fyy=x(x+4y)'E+x(x+4y)E'

fyy=x・4・E+x(x+4y)E'

となり,x・4・E が現れます.つまり,x(x+4y)E の
(x+4y) を y で偏微分すると,4 なので,x(x+4y)'E が x・4・E なります.

この回答への補足

回答ありがとうございます

わかりやすい説明をありがとうございます

また違う場所を質問してしまうのですが

fxx
=yE+(1+xy)Ex
=yE+(1+xy)yE
=y(2+xy)E

fxy
=xE+(1+xy)Ey
=xE+(1+xy)(x+4y)E
={x+(1+xy)(x+4y)}E

の部分のfxxのyEはどこから出てきたのか教えてください。また、fxyのxEも教えてください。

よろしくお願いします

補足日時:2010/08/30 18:05
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Q2変数関数 f(x,y)の偏微分する方法をご指南ください

2変数関数 f(x,y)を偏微分をといてみたものの
あっているか自信がありません。(特に4番)
わかる方、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(1) x^2+3x+y+2

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2x+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1

(2) x^2y^3+3x+2y

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2xy^3+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 3x^2+2

(3) (x-y)/(x+y)

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 1/1=1
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = -1/1=-1

(4) √(x^2+y^2+1)

f(x,y)=√(x^2+y^2+1)=(x^2+y^2+1)^(1/2)

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 1/(√(x^2+y^2+1)) ?
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1/(√(y^2+x^2+1)) ?

※(4)は、答えに全く自信がありません。
 できれば、途中の計算プロセスを詳しく教えていただけると助かります。

以上、よろしくお願いします。

2変数関数 f(x,y)を偏微分をといてみたものの
あっているか自信がありません。(特に4番)
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【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(1) x^2+3x+y+2

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2x+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1

(2) x^2y^3+3x+2y

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2xy^3+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 3x^2+2

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xに関するy...続きを読む

Aベストアンサー

(1) x^2+3x+y+2
>fx(x,y) = 2x+3
>fy(x,y) = 1
OK

(2) x^2y^3+3x+2y
>fx(x,y) = 2xy^3+3
OK
>fy(x,y) = 3x^2+2
×
3x^2*y^2+2

(3) (x-y)/(x+y)
>fx(x,y) = 1/1=1
×
1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=2y/(x+y)^2
>fy(x,y) = -1/1=-1
×
-1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=-2x/(x+y)^2

(4) √(x^2+y^2+1)
>f(x,y)=√(x^2+y^2+1)=(x^2+y^2+1)^(1/2)
>fx(x,y) = 1/(√(x^2+y^2+1)) ?
×
={(x^2+y^2+1)^(1/2)}'=(1/2)(x^2)'*(x^2+y^2+1)^(-1/2)
=x/√(x^2+y^2+1)
>fy(x,y) = 1/(√(y^2+x^2+1)) ?
×
fx(x,y)と同様に
=y/√(x^2+y^2+1)

(1) x^2+3x+y+2
>fx(x,y) = 2x+3
>fy(x,y) = 1
OK

(2) x^2y^3+3x+2y
>fx(x,y) = 2xy^3+3
OK
>fy(x,y) = 3x^2+2
×
3x^2*y^2+2

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×
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Q指数やLogが含まれる2変数関数 f(x,y)の偏微分について

こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が
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【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
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(5) Log √(x^2+y^2+1)
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fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1)
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また、(Log x)'=1/xの公式と合わせて,
Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x
Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y

(6) e^(xy)
fx(x,y)=e^(xy)
fy(x,y)=e^(xy)

(7) sin xy
fx(x,y)=cos xy = y * cos x
fy(x,y)=cos yx = x * cos y

(8) e^x * sin y
fx(x,y)=e^x * sin y
fy(x,y)=e^x * cos y

(9) x^2 cos xy
積の微分の公式 より、
fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy
fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy

以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、
ご指導お願いします。

こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が
ようやく理解できました。大変ありがとうございました。
それで、追加の質問で申し訳ないのですが、
以下の解き方があっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(5) Log √(x^2+y^2+1)
先に質問をした回答より、
fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1)
fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1)
また、(Log...続きを読む

Aベストアンサー

> 先に質問をした回答より、
>fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1)
>fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1)
これらの式は、理解不能です。
正しい式を書いてください。

>(5) Log √(x^2+y^2+1)
大学数学なら、対数の底を明記してください。
logは自然対数(対数の底はネピア数)である、とか、ln(x),log_e(x)などと書くようにしてください。ln(x)は natural logarithm of x、自然対数の意味として使われる。
>Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x
×
>Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y
×
f(x,y)=ln √(x^2+y^2+1)=(1/2)ln(x^2+y^2+1)
fx(x,y)=(1/2)*(x^2)'/(x^2+y^2+1)=x/(x^2+y^2+1)
同様にして
fy(x,y)=y/(x^2+y^2+1)

>(6) e^(xy)
>fx(x,y)=e^(xy)
×
>fy(x,y)=e^(xy)
×
fx(x,y)=(xy)'*e^(xy)=ye^(xy)
fy(x,y)=(xy)'*e^(xy)=xe^(xy)

>(7) sin xy
>fx(x,y)=cos xy = y * cos x
×
fx(x,y)=y*cos(xy)
>fy(x,y)=cos yx = x * cos y
×
fx(x,y)=x*cos(xy)

>(8) e^x * sin y
>fx(x,y)=e^x * sin y
OK
>fy(x,y)=e^x * cos y
OK

>(9) x^2 cos xy
>fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy)
×
fx(x,y)=2x*cos(xy) +(x^2)(-y*sin(xy))
= …

>fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy
×
fy(x,y)=(x^2){-x*sin(xy)}
= …

理解の徹底)
fx(x,y)を求めるときはyを定数として変数xについて扱うこと。
fy(x,y)を求めるときはxを定数として変数yについて扱うこと。

> 先に質問をした回答より、
>fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1)
>fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1)
これらの式は、理解不能です。
正しい式を書いてください。

>(5) Log √(x^2+y^2+1)
大学数学なら、対数の底を明記してください。
logは自然対数(対数の底はネピア数)である、とか、ln(x),log_e(x)などと書くようにしてください。ln(x)は natural logarithm of x、自然対数の意味として使われる。
>Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x
×
>Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y
×
...続きを読む

Q接平面の式

曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?

また、その接平面から距離が√5となる平面の式も
求めたいのです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考程度に

「曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?」

接平面の方程式がいりますね。
z=f(xy), 点(a,b,c) の時の 接平面の方程式は、
z-c=fx'(a,b)(x-a)+fy'(a,b)(y-b)
ですね。
z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)の場合は、
c=1, {∂f(xy)/∂x}(1,1,1)=-2x=-2
{∂f(xy)/∂y}(1,1,1)=-2y =-2
z-1=-2(x-1)-2(y-1)=-2x-2y+4
z=-2x-2y+5
ということですかね。

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qeの偏微分

e^(x^2)+2xy-(y^2)をxとyで二階微分します。一階微分の
fx=(2x+2y)e^(x^2)+2xy-(y^2)まではいいのですが、
fxx=2{2((x+y)^2)+1}e^(x^2)+2xy-(y^2)の意味がまったくわかりません。
+1って何なのですか?同じことをもう一回するのだから、
{4(x+y)^2}e^(x^2)+2xy-(y^2)にはならないのですか?

Aベストアンサー

答えは正しいと思いますよ。

f(x)・g(x)の微分は
f’(x)・g(x)+f(x)・g’(x)となりますよね。

ですから、eの乗数が合成関数になっているので、
fxx=2{2((x+y)^2)+1}e^(x^2)+2xy-(y^2)となります。
ここで、2{2((x+y)^2)+1}は
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ですので、xに関する2階微分は正しいですね。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。

Qz = x^y の偏微分

z = x^y の偏微分


こんにちは。
数学の偏微分に関しての質問です。


z = x^y を偏微分せよ


という問題について教えて欲しいのです。

・偏微分可能であることを示す
・偏専関数を求める

これは例題でやったのですが、実際に偏微分するときどう手をつければいいのかわからず…。
偏微分というのがどういう事なのかをまず理解してないのも一つなのですが。

実際に解答するならばどう答えればいいのでしょうか。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>偏微分というのがどういう事なのかをまず理解してないのも一つなのですが。
xで偏微分するときはyを定数と見做してxの微分をする。
yで偏微分するときはxを定数と見做してyの微分をする。
ただ、これだけのことです。

z=x^y=e^(ylog(x))

z_x≡∂z/dx=e^(ylog(x))*∂(ylog(x))/∂x
=e^(ylog(x))*y/x=(y/x)x^y

z_y≡∂z/dy=e^(ylog(x))*∂(ylog(x))/∂y
=(x^y)log(x)

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q「第2次偏導関数」の問題です。

「第2次偏導関数」の問題です。

(1) z=e^(x^2+y^2)

(2) z=sinxy

(3) z=log(√x^2+y^2)

合ってるかどうか確かめてください。
お願いします。

(1)Zx=2xe^(x^2+y^2) Zy=2ye^(x^2+y^2)
Zxx=2e^(x^2+y^2)(2x+1) Zxy=Zyx=4xye^(x^2+y^2) Zyy=2e^(x^2+y^2)(2y+1)

(2)Zx=ycosxy Zy=xcosxy
Zxx=-y^2sinxy Zxy=Zyx=cosxy-xysinxy Zyy=-x^2sinxy

(3)Zx=x/(x^2+y^2) Zy=y/(x^2+y^2)
Zxx=-{(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2} Zxy=Zyx=-{2xy/(x^2+y^2)^2} Zyy=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2

Aベストアンサー

(1) Z = e^(x^2 + y^2)
O Zx = 2x e^(x^2 + y^2)
O Zy = 2y e^(x^2 + y^2)
X Zxx = 2{ e^(x^2 + y^2) }(2x+1)
O Zxy = Zyx = 4xy e^(x^2 + y^2)
X Zyy = 2{ e^(x^2 + y^2) }(2y+1)

(2) Z = sin(xy)
O Zx = y cos(xy)
O Zy = x cos(xy)
O Zxx = -y^2 sin(xy)
O Zxy = Zyx = cos(xy) - xy sin(xy)
O Zyy = -x^2 sin(xy)

(3) Z = log√(x^2 + y^2)
O Zx = x / (x^2 + y^2)
O Zy = y / (x^2 + y^2)
O Zxx = -(x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)^2
O Zxy = Zyx = -2xy / (x^2 + y^2)^2
O Zyy = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)^2

だと思います。(1)は凡ミスでしょう。
さぁ、もう一度。

(1) Z = e^(x^2 + y^2)
O Zx = 2x e^(x^2 + y^2)
O Zy = 2y e^(x^2 + y^2)
X Zxx = 2{ e^(x^2 + y^2) }(2x+1)
O Zxy = Zyx = 4xy e^(x^2 + y^2)
X Zyy = 2{ e^(x^2 + y^2) }(2y+1)

(2) Z = sin(xy)
O Zx = y cos(xy)
O Zy = x cos(xy)
O Zxx = -y^2 sin(xy)
O Zxy = Zyx = cos(xy) - xy sin(xy)
O Zyy = -x^2 sin(xy)

(3) Z = log√(x^2 + y^2)
O Zx = x / (x^2 + y^2)
O Zy = y / (x^2 + y^2)
O Zxx = -(x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)^2
O Zxy = Zyx = -2xy / (x^2 +...続きを読む


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