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y=x^2のグラフ上を2点A、Bが線分ABの長さが一定になるように動くとき、
線分ABの中点のy座標の最小値を求めよ。

A(α,α^2),B(β,β^2)とおく。AB^2=k^2とおく。
ABの中点x=(α+β)/2,y=(α^2+β^2)/2
これらより、
12y^2-(64x^2+10)y+64x^4+16x^2-k^2=0
となりました。
これより、yの最小値をもとめようと思いましたが、
挫折しました。このような方法でよいのでしょうか。
よろしくおねがいします。

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A 回答 (3件)

A(α,α^2),B(β,β^2)とおく。

AB^2=k^2とおく。
ABの中点x=(α+β)/2,y=(α^2+β^2)/2
AB^2=k^2=(α-β)^2*{1+(α+β)^2} ‥‥(1)よって、αβ=2x^2-y αとβは t^2-2αt+(2x^2-y)=0 の2つの実数解→ 判別式≧0 から、y≧x^2 ‥‥(2)
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=8y-4x^2 よって、(1)から4*(8y-4x^2)*{1+x^2}=k^2 ‥‥(3) → 2y={k^2}/4{1+x^2}+x^2 後は x^2=mとでも置き換えて微分。
(1)と(3)から、xの条件はないようだ。
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この回答へのお礼

たぶん、(α-β)^2=8y-4x^2は4y-4x^2。
変形するとy=f(x)の形にできたんですね。
解決できました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/08/30 16:52

A(α,α^2), B(β,β^2)


AB=2k

(2k)^2=(α-β)^2+(α^2-β^2) ‥(1)

ABの中点(x,y)
x=(α+β)/2 ‥(2)
y=(α^2+β^2)/2 ‥(3)

(2)(3)から,
y=2x^2-αβ ‥(4)

(1)から,
αβ=(4x^4+x^2-k^2)/(4k^2+1)

(4)へ代入して
y=2x^2-(4x^4+x^2-k^2)/(4k^2+1)

y'=0 から,
x=(2k-1)/2
したがって、最小値は、y=(4k-1)/4
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
yをxの式で表すところを間違ってしまって、
難しくしていました。

お礼日時:2010/08/31 08:13

微分なんか不要のようだ。



x^2=mとすると、相加平均・相乗平均から、2y=m+{k}^2/4{m+1}={m+1}+{k}^2/4{m+1}-1 と変形するだけ。

余り簡単なので、どこかで計算ミスをしてるかも知れない。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
相加相乗で計算が簡単になるのですね。
グラフを考える必要がなかったです。

お礼日時:2010/08/30 16:56

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