線形代数 直交するベクトル

(1,2,0) (5,6,4)の２つの列ベクトルがあります。（表記は行ベクトルのようになってしまいますが・・・）

この２つの列ベクトルに直交する、3×1行列X（成分はx,y,zと置きます）を求めよ。

という問題がわかりません。
ヒントがあり、シュミットの直交化法を用いるか、直交することを式で表すかどちらでもよいと
あるのですが、さっぱりわかりません。

1*x+2*y+0*z=0
5*x+6*y+4*z=0
の二つの式を解くのでしょうか？
でもそれだと式の数が足りませんよね・・

分かる方がいれば教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/02/02 22:44

z=kとして２つの式を解けば良いでしょう。

そうすると(~を転置の記号として使うと)
(x,y,z)~=(-2k,k,k)~=k(-2,1,1)~
と直交する列ベクトルが求まります。kは任意定数です。

k=-1と選べば直交列ベクトルは(2,-1,-1)
k=1と選べば直交列ベクトルは(-2,1,1)
となります。

k（スカラー変数、k≠0）の値によって、ベクトルの大きさやベクトルの向き（kの符号によって向きが変わる）が変わりますが、元の２つの列ベクトルと直交するベクトルであることには変わりません。ベクトルの成分（要素）の比が簡単な比になるようにkの値を選んだり、kのまま直交列ベクトルを一般形をそのまま答えとすることもあります。

授業や先生がどちらの答えを使っているかで判断すれば良いでしょう。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/04 02:45

＞ でもそれだと式の数が足りませんよね・・

足ります。
三元二連立一次方程式なので、x, y, z が一意に決まらない
…と言いたいのでしょうが、そもそも

＞ この２つの列ベクトルに直交する、3×1 行列 X

が一個ではありません。
質問文中の方程式を解いて得られる (x, y, z) は、
全て X の解になります。

方程式の全ての解を求めればよいのですが、その際、
いきなり z = k と置いたりしないように注意しましょう。
この問題では、たまたま z = k と置いても答えが出ますが、
(0,1,0) と (0,0,1) に直交するベクトルだったりすれば
マズイことになります。

掃き出しなどをして、一次方程式を丁寧に解くほうが安全です。
その際、ピボット選択を忘れずに。

No.2 回答者： noname#137826 回答日時： 2011/02/02 19:33

その2式を解けばよいです。

変数の数が式の数より多いので、値が定まらないことを疑問に思っているのだと思います。しかし、それがあるべき状況なのは、もっと簡単な例を考えればすぐにわかることでしょう。

たとえば、x, y軸に平行な単位ベクトル (1, 0, 0), (0, 1, 0) と直交するのはz軸に平行なベクトルですね。(0, 0, 1) も、(0, 0, -2) も直交します。つまり、直交するベクトルは1つに定まるわけではありません。

この問題も同じことで、あるベクトルに平行なベクトルはすべて与えられた2つのベクトルに直交することが言えます。そのベクトルは、ご質問にある2式を解けば(2つの文字を消去すれば)得られます。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/02/02 15:58

こんにちわ。

＞二つの式を解くのでしょうか？
そのとおりです。

＞式の数が足りませんよね・・
求めたいベクトルの成分って、一通りに決まるものでしたか？
直交するといっても、上向きだったり、下向きだったり、大きさが違ったりと
いろんなベクトルを考えることができます。

ベクトルの「方向」は、各成分の「比」によって、特定されます。