定積分の問題を教えてください。

∫[－∞→∞]ｄｘ/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2)　　(0＜a＜b)


この問題の解き方を教えてください。
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/02/08 13:13

もう，用済みかも知れませんが，計算してみました．

∫[－∞→∞]ｄｘ/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2)

まず，1/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) を部分分数分解すると，
A, B をある定数として，
1/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) ＝ A/(x^2＋a^2) ＋ B/(x^2＋b^2)
とおき，A, B を計算する．

1/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) ＝ A/(x^2＋a^2) ＋ B/(x^2＋b^2)＝
＝ [1/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2)]＊[A(x^2＋b^2) ＋ B(x^2＋a^2)]＝
＝ [1/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2)]＊[x^2(A＋B) ＋Ab^2 ＋ Ba^2]

この式が，1/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) となるためには，

A＋B＝0
Ab^2 ＋ Ba^2＝1

でなければならない．この式から，A，B を計算する．
まず，A について解くと，Ab^2 ＋ Ba^2＝1 を変形して，

A ＝(1－ Ba^2)/b^2

この式を，A＋B＝0 に入れて，B　を求めると，

(1－ Ba^2)/b^2＋B＝0
(1/b^2)－ (Ba^2/b^2)＋B＝0

1－ Ba^2＋Bb^2＝0
1－ B(a^2＋b^2)＝0
B＝1/(a^2＋b^2)

したがって，A は，A＝－B なので，

A＝－1/(a^2＋b^2)

です．以上の部分分数分解の結果：
A＝－1/(a^2＋b^2)，B＝1/(a^2＋b^2)　を使って，
積分：∫ｄｘ/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) は，

∫ｄｘ/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) ＝
＝ A∫ｄｘ/(x^2＋a^2) ＋ B∫ｄｘ/(x^2＋b^2)＝
＝ A(1/a^2)arctan(x/a^2)＋B(1/b^2)arctan(x/b^2)

となります．
これにより，定積分∫[－∞→∞]ｄｘ/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) は

∫[－∞→∞]ｄｘ/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) ＝
[A (1/a^2)arctan(－∞)＋B (1/b^2)arctan(－∞)]
－[A (1/a^2)arctan(∞)＋B (1/b^2)arctan(∞)] ＝

＝[A (1/a^2)(－π/2)＋B (1/b^2)(－π/2)]
－[A (1/a^2)(π/2)＋B (1/b^2)(π/2)] ＝

＝－[A (1/a^2)(π/2)＋B (1/b^2)(π/2)]
　－[A (1/a^2)(π/2)＋B (1/b^2)(π/2)] ＝

＝－2[A (1/a^2)(π/2)＋B (1/b^2)(π/2)] ＝
＝－2(π/2)[A (1/a^2)＋B (1/b^2)] ＝
＝－π[A (1/a^2)＋B (1/b^2)] ＝
＝－{π/(a^2＋b^2)}[－(1/a^2)＋(1/b^2)] ＝
＝{π/(a^2＋b^2)}[(1/a^2)－(1/b^2)]

となります．なんとならば，
A＝－1/(a^2＋b^2)，B＝1/(a^2＋b^2)　なので．故に，

∫[－∞→∞]ｄｘ/(x^2＋a^2)(x^2＋b^2) ＝
＝{π/(a^2＋b^2)}[(1/a^2)－(1/b^2)] ＝
＝[π(b^2－a^2)]/[a^2＊b^2＊(a^2＋b^2)]

です．
長い計算なので，どこか間違いが無いか，チェックして下さい．

（注)：　arctan(∞)＝π/2　　　arctan(－∞)＝－π/2　です．

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/02/06 14:56

ぶぶんぶんすうにぶんかいする.