2次方程式の解の存在範囲

aは実数とする。
2次方程式2x^2-4ax+a+3=0が次のような実数解をもつとき、aの値の範囲を求めよ。

1.解がともに1より大きい。


2.解がともに1より小さい。


3.1つの解が1より大きく、
　他の解が1より小さい。




条件が￠異なる2つの実数解￡ならなんとか解けるのですが、
この問題は￠実数解￡となっているので、
そのときの違いと解き方を教えてほしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2011/02/12 19:42

いろいろやり方があると思いますが、「ax^2+bx+c=0」の２つの解をα、βとおいて、積αβと和α＋βについての条件に言い換えて、α+β＝-b/a、αβ＝c/aを使う方法が個人的に好きです。

問題1⇔α＞1かつβ＞1
　　　⇔α-1＞0かつβ-1＞0
　　　⇔(α-1)(β-1)＞0かつ(α-1)+(β-1)＞0　（←ここがポイント！）
　　　⇔αβ-(α+β)+1＞0かつ(α+β)-2＞0
　　　⇔・・・（あとはαβ＝(a+3)/２、α+β＝4a/２＝2aを代入して連立不等式を解けばOK）

問題２⇔α＜1かつβ＜1
　　　⇔α-1＜0かつβ-1＜0
　　　⇔(α-1)(β-1)＞0かつ(α-1)+(β-1)＜0　（←ここがポイント！）
　　　⇔αβ-(α+β)+1＞0かつ(α+β)-2＜0
　　　⇔・・・

問題３⇔（α＞1かつβ＜1）または（α＜1かつβ＞1）
　　　⇔（α-1＞0かつβ-1＜0）または（α-1＜0かつβ-1＞0）
　　　⇔(α-1)(β-1)＜0　（←ここがポイント！）
　　　⇔αβ-(α+β)+1＜0
　　　⇔・・・

※　問題３別解　：　問題３の条件は問題１でも問題２でもないときなので、（問題１の結果または問題２の結果）の余事象を求めることによって求める。

以上の解答はこのままだと虚数解を含みます。なので、最後に判別式D＝4a^2-4・2・(a+3)≧0との共通部分を求めればよいです。異なる２つの解ならD＞0とするだけです。

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2011/02/12 21:30

こういう問題は、

f(x)=2x^2-4ax+a+3
とおいて、f(1)の正負を調べると分かりやすいでしょう。

2x^2-4ax+a+3=2(x-a)^2-(a+1)(2a-3)
なので、この２次関数の頂点のx座標はaです。


1.解がともに1より大きい。
⇔
f(1)>0
頂点のx座標=a＞1
判別式≧0


2.解がともに1より小さい。
⇔
f(1)>0
頂点のx座標=a＜1
判別式≧0


3.1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。
⇔
f(1)＜0

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/02/12 20:31

こんばんわ。

おおまかな考え方だけ。

「異なる2つの実数解」は、単に「解が存在する」ことしか考えていません。
・判別式に対する条件か、
・2次関数のグラフと x軸との交点が存在するための条件（頂点の y座標）
を考えることになります。
（この 2つの条件は同じことを言っているので、出てくる式も同じになります。）

いま問われているのは、さらに「解自体の値に対する」条件がついています。
・解をα、βとおいて条件を式で表し、解と係数の関係を用いるか
・2次関数のグラフがどのような位置（x軸との交点）にならねばならないか
のどちらかを使うことになります。
もちろん、解が存在しないと話にならないので、その条件も考え併せることになります。

No.2 回答者： emisdf 回答日時： 2011/02/12 19:46

設定する条件は

2x^2-4ax+a+3=0　・・・(1)
(1)の判別式をDとすると(1)が実数解を持つので
D≧0　・・・(2)
また(1)の2解が x = A , B　(A≧B、D＝0の場合A=B)とすると

条件1.は
A > 1 , B > 1 及び(2)が条件となります。

同様に
条件2.は
A < 1 , B < 1 及び(2)

条件3.は
A > 1 , B < 1 及び(2)

これで計算すればaの範囲がそれぞれ求まると思います。

￠（セント）とか￡（ポンド）のことはわかりかねます。