ガウスの定理の問題です。

半径aの球体内に一様な電荷が分布して電気量Qをもつとき、
半径rの球面での積分を考えます。r=(x,y,z)
r＞aの領域では、divE=0となります。
このとき、ガウスの定理から、∫E・n dS=∫divE dV=0 (r＞a)
E・nが積分面上で一定のとき、E・n∫dS=0 ⇔ E・n=0 (r＞a)
となりますよね？
このとき、法線ベクトル(n)を具体的に表して、
実際にE・n=0となるのか計算したいのですが、
どうしたらいいのか教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/02/25 18:47

>E・n∫dS=0 ⇔ E・n=0

E・n∫dS=0　は正しいですが，明らかに　E・n=0　とはなりません。この場合，最も簡単なガウス面のとりかたは，a<b<cなる球面r=bおよびr=cを無限に細いパイプでつないだ閉曲面を選ぶ方法です。このとき，r=bの球面に対する法線は半径方向内向きですから，

E・n∫[r=b]dS = -Q/(4πε0 b^2)・4πb^2 = -Q/ε0

同様に，r=cの球面に対する法線は半径方向外向きですから，

E・n∫[r=c]dS = Q/(4πε0 c^2)・4πc^2 = Q/ε0

∴E・n∫dS = E・n∫[r=b]dS + E・n∫[r=c]dS = 0

これでは当たり前すぎて…と思われるのならば，一様球電荷分布全体にわたってクーロン則を積分するとか，あるいは，r>aの領域に任意の半径の球面や立方体面でも考えてガウス面とすれば，やりごたえのある計算になるでしょう。

ただし，ガウスの法則の証明としては，むしろdiv Eを直接計算するのが簡明です。

div E = 1/r^2・∂/∂r(r^2E) = 1/r^2・∂/∂r{ Q/(4πε0) } = 0

この回答へのお礼

丁寧な回答をありがとうございます。
おかげで、問題が解決しました！

お礼日時：2011/02/25 19:52

No.1 回答者： heboiboro 回答日時： 2011/02/25 17:57

＞r＞aの領域では、divE=0となります。

＞このとき、ガウスの定理から、∫E・n dS=∫divE dV=0 (r＞a)
この体積積分の積分領域は半径rの球と考えていいのでしょうか？
それでしたら、その半径rの球の内部の半径aの球の部分ではdivEは0になりませんので、この体積積分は0になりません。