ポテンシャルエネルギーの問題です。

X=2axｙ＋bｙ＾2z＾２
Y=ax^2＋2bxyz^2
Z=2bxy^2z

Ｘ～Ｚは力です。

このポテンシャルエネルギーを教えてください。

No.1 回答者： Quarks 回答日時： 2011/05/19 11:23

ポテンシャルエネルギーを持つかどうかは式をちょっと見ただけではわからないですね。

そこで、もしポテンシャルエネルギーU(x,y,z)を持つとしたら…と考えてみましょう。
もしポテンシャルエネルギーを持つのだとしたら
X=-∂U/∂x
Y=-∂U/∂y
Z=-∂U/∂z
が成り立ちますから
Uは、X=…，Y=…，Z=…を積分してやれば求まるはずです。
U=∫Xdx=ax^2y+bxy^2z^2+C1
ただし、xでの積分ではy,zは定数扱いします。
同様に
U=∫Ydy=ax^2y+bxy^2z^2+C2
x,zを定数扱いしました。
U=∫Zdz=bxy^2z^2+C3
x,yを定数扱いしました。
幸いなことに
U=ax^2y+bxy^2z^2+C
と表現できるようですね。なお、定数Cは、ポテンシャルエネルギーの基準点をどこに定めるかで決まる定数ですから、必ず含めておきましょう。

No.2 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/05/19 16:27

ベクトル場 F = (X,Y,Z) が

rot F
= i(∂Z/∂y - ∂Y/∂z)
+ j(∂X/∂z - ∂Z/∂x)
+ k(∂Y/∂x - ∂X/∂y)
= 0

をみたせば，F はポテンシャルを持ちますが，ご質問の F はこの条件を満たしますので，ポテンシャルを持ちます．

このとき，点(x0,y0,z0)を基準点とするFのポテンシャル U(x,y,z) は次のように定義されます：

U(r) = -∫(x0,y0,z0)→(x,y,z) F・dr.

ポテンシャルが定義できるということは，ポテンシャルの積分の値が積分経路によらないということなので，計算しやすい経路を選べばよいのです．

例えば，基準点として(x0,y0,z0) = (0,0,0)を選べば，

U(x,y,z)
= -∫線分(0,0,0)→(x,0,0) X dx
- ∫線分(x,0,0)→(x,y,0) Y dy
- ∫線分(x,y,0)→(x,y,z) Z dz
= 0
- a x^2 y
- b x y^2 z^2
= -a x^2 y - b x y^2 z^2.

これがFのポテンシャルの1つですが，一般にポテンシャルは積分定数の任意性を持つので，

U(x,y,z) = -a x^2 y - b x y^2 z^2 + C

と表せるでしょう．

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/05/19 18:47

度々すみません．ANo.2です．

あとから自分が書いた説明を読んでみると，少し説明不足のような気がしましたので，追記します．

rot F = ...

の式の中で使われているi，j，kはそれぞれx軸，y軸，z軸の正の向きの単位ベクトルです．

あと，ポテンシャルの定義式に現れるrは
r = (x,y,z)
です．

実際のポテンシャルの計算では

U(x,y,z)
= -∫線分(0,0,0)→(x,0,0) X dx ←この積分においてy = z = 0で一定
- ∫線分(x,0,0)→(x,y,0) Y dy ←この積分においてxは一定，z = 0で一定
- ∫線分(x,y,0)→(x,y,z) Z dz ←この積分においてx，yは一定

です．

この回答へのお礼

なるほど！！
よく分かりました

本当にありがとうございます

お礼日時：2011/05/21 20:35