物理学の質問です。大至急お願いします。

Question

1)幅aのうすい平らな導体板に強さIの電流が流れている。(省略)計算では電流を直線電流の集まりとみなし、各直線電流のつくる磁場をすべて加え合わせればよい。

→この問題の解答に『板の中心Oからの距離がrの点Pにおける磁場を求める。Oからsの距離にある幅⊿sの部分に流れる電流I⊿s/a…(省略)』とありました。電流素片は単純にI⊿sではいけないのでしょうか？たとえば、円形の回路に電流を流し、回路の中心軸上の磁束密度を求めるときはI⊿sですよね。もし、I⊿s/aを採用するなら、円形はI⊿s/2πrではないのでしょうか？

3)F(x)=∫(0→x)e^(-t^2)dtとし、
lim(x→∞)F(x)=∫(0→∞)e^(-t^2)dt=√π/2である。

a.dF(x)/dxを求めよ。
→=e^(-x^2)でいいでしょうか？

b.∫(x→∞)e^(-t^2)をF(t)を用いて表せ。
→=lim(x→∞)F(x)-F(x)でいいでしょうか？

c.∫(0→∞)e^(-a^2 t^2)dt
→=(1/a)√π/2でいいでしょうか？

d.∫(0→∞)t^2 e^(-t^2)dt
→さっぱりわかりません。どうやって解いたらいいでしょうか？

4)下図は連成振動の問題です。すべて、ばね定数k、質量mです。下図では、x1>x2となっております(あくまでも、図からよみとったわけで、問題文には一切記載されていません)がこの場合、運動方程式は
md^2x1/dt^2=-kx1-k(x1-x2)
md^2x2/dt^2=-kx2+k(x1-x2)
でいいでしょうか？
わたしのよく見る問題では、x2>x1で
方程式も
md^2x1/dt^2=-kx1+k(x2-x1)
md^2x2/dt^2=-kx2-k(x2-x1)
となっております。
僕の解釈は、変位が小さいほうは変位が大きいほうに引っ張られ、逆に変位が大きいほうはばねからの力を受けるため、上式の二項での符号の違いが生じるとしています。
また、知人に質問したら、小問で『x1(0)=a,x2(0)=-a,v1(0)=0,v2(0)=0の初期条件を与えた時のt>0での質点の位置を求めよ』とあるから、気にしなくていいよと言われましたが、よくわかりませんでした。

5)重心の位置ベクトルの定義式をかけと言われたら、式をただ説明なしに置くだけでいいのでしょうか？問題文には質量m1、m2の質点がそれぞれ位置ベクトルr1とr2の点にある。このような二体系をあつかうには、重心の位置ベクトルや相対ベクトルr=r2-r1を導入するのが便利であるとあります。
説明を入れて、式の証明等もしなければいけませんか？

問題が多いですが、みなさんのお力をお貸しください。
よろしくお願いします。

noname#154783 · Accepted Answer

5)
重心
R = (m1 r1 + m2 r2)/(m1 + m2)
は定義ですから，証明する必要はありません．
説明なしにこの式を書き下していいと思います．

4)
「x1とx2が質点1，質点2の座標そのものなのか，釣り合いの位置からの変位なのか」の説明がないのですが，図の書き方だと後者(釣り合いの位置からの変位)だと考えられます．

だとすると，x1，x2の大小関係は条件として必要ありません．

以下，説明の都合上，バネに左から順に「バネ1」「バネ2」「バネ3」と名前をつけます．

釣り合いの位置において，それぞれのバネが自然長であるとは限らないため，一般に釣り合いの位置において質点1,2はそれぞれのバネから力を受けていると考えられます．しかし，釣り合っているということから，

質点1はバネ1から+F0，バネ2から-F0の力を受け，
質点2はバネ2から+F0，バネ3から-F0の力を受ける

とします．このようにそれぞれの質点がそれぞれのバネから受ける力の大きさががすべて同じでないと釣り合いませんから．

# バネは自然長より長いのか短いのかわかりませんからF0は正にも負にもなり得ます．
# バネが自然長より長いのであればF0 > 0，短いのであればF0 < 0，自然長ならF0 = 0．

で，質点1,2が釣り合いの位置からそれぞれx1，x2だけ変位した場合を考えると，この変異により力は次のように変化します：

質点1はバネ1から+F0 - k x1，バネ2から-F0 + k(x2 - x1)の力を受け，
質点2はバネ2から+F0 - k(x2 - x1)，バネ3から-F0 - k x2の力を受ける．

以上より，質点1,2の運動方程式は次のようになります：

m x1" = {+F0 - k x1} + {-F0 + k(x2 - x1)} = -k x1 + k(x2 - x1),
m x2" = {+F0 - k(x2 - x1)} + {-F0 - k x2} = -k(x2 - x1) - k x2.

というわけで，

> 運動方程式は
> md^2x1/dt^2=-kx1-k(x1-x2)
> md^2x2/dt^2=-kx2+k(x1-x2)
> でいいでしょうか？

いいと思います．

> わたしのよく見る問題では、x2>x1で
> 方程式も
> md^2x1/dt^2=-kx1+k(x2-x1)
> md^2x2/dt^2=-kx2-k(x2-x1)
> となっております。

これについては「よく見る問題」というのがどんな問題なのかわかりませんので何とも言えませんが，「x2 > x1」というのは，x1，x2が，釣り合いの位置からの変位ではなく，質点1,2の座標そのものを表しているからだと思います．また，

m d^2 x1/dt^2 = -k x1 + k(x2 - x1) = -k x1 - k(x1 - x2),
m d^2 x2/dt^2 = -k x2 - k(x2 - x1) = -k x2 + k(x1 - x2)

# ()内の引き算の順序に注意

なので，「よく見る問題」の運動方程式は，今回の運動方程式と一致します．

> 僕の解釈は、変位が小さいほうは変位が大きいほうに引っ張られ、逆に変位が大きいほうはばねからの力を受けるため、上式の二項での符号の違いが生じるとしています。

要するに，符号の変化は生じていません．

2)
問題の意味がよくわかりません．

「行列式」じゃなくて「行列」なんですね?
小文字のx'，y'，z'と大文字のX'，Y'，Z'が入り混じっていますが，これらは違う文字なんですか?
a，bは実数なんですよね?
その他の文字も全部実数なんですか?

などなど...

# 日曜出勤で体力を消耗してしまっているため，力尽きて眠ってしまう前にこれだけ投稿しときます．
# 体力が続けば残りも投稿できるかも...

noname#154783 · Answer

# 眠ってしまった...

2)
大文字・小文字の違いは無視し，「（行列式ではなく）行列として等しい」と解釈して解くなら，各成分同士が等しいとして解いていくしかありません．

(1,1)成分同士を比較して
t' + z' = exp(-2a) t + exp(-2a) z, …(1)

(2,2)成分同士を比較して
t' - z' = exp(2a) t - exp(2a) z, …(2)

(1) + (2)より
t' = cosh(2a) t - sinh(2a) z.

(1) - (2)より
z' = - sinh(2a) t + cosh(2a) z.

# ただし
# cosh(ξ) = {exp(ξ) + exp(-ξ)}/2,
# sinh(ξ) = {exp(ξ) - exp(-ξ)}/2,
# は双曲線関数とよばれる．
# coshは「ハイパボリックコサイン」
# sinhは「ハイパボリックサイン」
# と読む．

(1,2)成分同士を比較して
x' - i y' =  exp(i2b) x - i exp(i2b) y, …(3)

(2,1)成分同士を比較して
x' + i y' =  exp(-i2b) x + i exp(-i2b) y, …(4)

(3) + (4)より
x' = cos(2b) x + sin(2b) y.

(3) - (4)より
y' = -sin(2b) x + cos(2b) y.

以上まとめて，
t' = cosh(2a) t - sinh(2a) z,
z' = - sinh(2a) t + cosh(2a) z,
x' = cos(2b) x + sin(2b) y,
y' = -sin(2b) x + cos(2b) y.

以下，蛇足．

行列として等しいってことは，行列式としても等しいわけで，行列式として等しいことから

t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 = t^2 - x^2 - y^2 - z^2

が得られます．これはc = 1としたときのローレンツ変換(t,x,y,z)→(t',x',y',z')が満たすべき式であり，この問題の(t,x,y,z)→(t',x',y',z')はローレンツ変換であるとわかります．さらに，

(x,y)→(x',y')は座標軸をz軸の周りに角度2b回転する変換になっています．

また，
β = tanh(2a) = sinh(2a)/cosh(2a)
と置くと，
cosh(2a) = 1/√(1 - β^2),
sinh(2a) = tanh(2a)・cosh(2a) = β/√(1 - β^2)
と表せるので，

t' = (t - β z)/√(1 - β^2),
z' = (-β t + z)/√(1 - β^2).

これは，z軸正方向に速度βで動く座標系へのローレンツ・ブーストの式です．

すなわち，この問題の(t,x,y,z)→(t',x',y',z')は
「x軸，y軸をz軸周りに角度2bだけ回転し，それをz軸正方向に速度β = tanh(2a)で運動させた座標系へのローレンツ変換」を表します．

noname#154783 · Answer

1)
幅aのキシメン状の電流Iを細切れにして幅Δsのソーメン状にしました．
ソーメンの本数は
N = a/Δs
です．

キシメン全体に電流Iが流れていたのですから，ソーメン1本に流れる電流は
I/N = I Δs/a.

> 電流素片は単純にI⊿sではいけないのでしょうか？

上の説明から解っていただきたいのですが，この問題で考えているのは電流素片ではありません．電流素片をI Δsと表す場合，Δsは電流の方向に沿った長さです．しかるに，この問題のΔsは電流と垂直な幅です．

# 添付図参照．

noname#154783 · Answer

3)

a.
微積分学の基本定理を用いると，
dF(x)/dx = d/dx ∫[0,x] exp(-t^2) dt = exp(-x^2).

> →=e^(-x^2)でいいでしょうか？

正しいと思います．

b.
被積分関数をタイプするのが面倒なので(苦笑)，省略して書くと，

∫[0,∞) = ∫[0,x] + ∫[x,∞)
∴∫[x,∞)
= ∫[0,∞) - ∫[0,x]
= √π /2 - F(x).

> →=lim(x→∞)F(x)-F(x)でいいでしょうか？

正しいのですが，
lim[x→∞] F(x) = √π /2
と与えられているのでこれを使うべき．

c.
この問題，a > 0 という断りがありますよね．

a > 0なら
t' = a t
と置いて，置換積分すると，
dt' = a dt,

t  | 0 → ∞
---+---------
t' | 0 → ∞

∫[0,∞) exp(-a^2 t^2) dt
= 1/a ∫[0,∞) exp(-t'^2) dt'
= (1/a) √π /2.

> →=(1/a)√π/2でいいでしょうか？

a > 0 という断りがあれば正しいです．
断りがなければ，

∫[0,∞) exp(-a^2 t^2) dt = (1/|a|) √π /2　(a ≠ 0).
∫[0,∞) exp(-a^2 t^2) dt = ∞　(a = 0).

d.
∫[0,∞) exp(-k t^2) dt (k > 0)
という積分を考えれば，前問の結果より

∫[0,∞) exp(-k t^2) dt = √(π/k) /2.

この式の両辺をkで微分すると

左辺の微分
= d/dk ∫[0,∞) exp(-k t^2) dt
= ∫[0,∞) ∂/∂k exp(-k t^2) dt
= -∫[0,∞) t^2 exp(-k t^2) dt.

右辺の微分
= (√π /2) d/dk k^(-1/2)
= -(√π /4) k^(-3/2).

∴∫[0,∞) t^2 exp(-k t^2) dt = (√π /4) k^(-3/2).

この式でk = 1とすると，
∫[0,∞) t^2 exp(-t^2) dt = √π /4.

物理学の質問です。大至急お願いします。

5)

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