加速度、速度、距離、時間の関係について

加速度、速度、距離、時間の関係式について教えて下さい。

本文では以下の記号を用います。
加速度：a
速度：v
距離：x
時間：t

・小学校の時などには「はじきの法則」で習う場合。
x = v・t　　・・・式(1)
　（距離＝速度×時間）

・高校物理で微分積分を用いる場合。
　加速度の定義
　a = dv/dt
v = a・t + c （c：積分定数）　・・・式(2)
　（速度=加速度×時間）
　
　速度の定義
v = dx/dt　・・・式(3)
x = v・t + c （c：積分定数）　・・・式(4)（ = 式(1)）

　式(3)に式(2)を代入して積分すると、
a・t = dx/dt
x =　(1/2)・a・t^2 + c （c：積分定数）　・・・式(5)
　
しかし、「はじきの法則」（式(1)）の印象が強いため、
式(1)に式(2)を代入した、下記の式と勘違いするのですが・・・・。
x =　a・t^2 + c （c：積分定数）　・・・式(6)

　式(6)が誤っている理由の解説をお願いします。
　

No.3 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/12/31 13:05

結論からいうと式(1)は等速の場合しか使えません。

等速でない、つまり加速度が0でない場合に式(1)を使うことが間違っています。
式(2)もこれが成り立つのは一定の加速度の場合のみです。

速度とは、二点間を移動するときに、移動距離を移動にかかった時間で割ったものです。
より正しくはこれは平均の速度で、移動距離や移動時間を無限小にしたものが瞬間の速度(単に速度)です。

さてこの平均の速度を考えてみましょう。

時刻tにx(t)にあったものがΔtだけ時刻が経過したときにx(t+Δt)にあったとすると平均の速度は

v(t) = [ x(t+Δt) - x(t) ] / Δt

これを書き換えて

x(t+Δt) = x(t) + v(t) Δt

移動時間Δtが十分に短い時間であれば、これがいつでも成り立ちます。

そこで、微小時間Δtの間隔に分割して時刻０から考えていくと、

x(Δt) = x(0) + v(0) Δt
x(2Δt) = x(Δt) + v(Δt) Δt
x(3Δt) = x(2Δt) + v(2Δt) Δt
x(4Δt) = x(3Δt) + v(3Δt) Δt
・・・・・
x([n-1]Δt) = x([n-2]Δt) + v([n-2]Δt) Δt
x(nΔt) = x([n-1]Δt) + v([n-1]Δt) Δt

このときに、一般にはvが時刻によって変っていくのがミソで、
上のすべての式で同じvを使えません。

これを全部加えるとx(iΔt)の部分がx(0)とx(nΔt)を残して全て消えて

x(nΔt) = x(0) + Σ[i=1,n] v([i-1]Δt) Δt

速度が時間によって変らない場合、つまり加速度が０であればv([i-1]Δt)を定数vとできるので

x(nΔt) = x(0) + Σ[i=1,n] v Δt = x(0) + v nΔt

ここで移動距離なのでx(0)=0とし、t=nΔtと書けば式(1)が出てきます。
つまり、式(1)は等速の場合しか使えません。

加速度が0ではなく速度が式(2)で与えられる場合

v([i-1]Δt) ＝ a・[i-1]Δt + c

なので

x(nΔt) = x(0) + Σ[i=1,n] v([i-1]Δt) Δt = x(0) + { Σ[i=1,n] [i-1] } aΔt^2 + c nΔt

ここにある和は

Σ[i=1,n] [i-1] ＝n(n-1)/2 ～ n^2/2 (n >> 1の場合)

となるので

x(nΔt) = x(0) + (1/2) a(nΔt)^2 + c (nΔt)

前同様にx(0)=0、t = nΔtとして

x(t) = (1/2) a t^2 + ct

になります。(式(６)、間違ってますね。)

これから、tを一定にする条件でΔt→0、n→∞の極限を取ったものが積分です。

この回答へのお礼

x(t) = (1/2) a t^2 + ct

上記の式のおける　ct　の部分が
小学校の時の「はじきの法則」における
"速さ（初速）×時間"だったんですね。

やっと理解できいました。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/01/19 22:57

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2011/12/31 03:30

こんにちは。

まず、積分。

ｄｖ／ｄｔ　＝　ａ

ｖ　＝　∫ａｄｔ　＝　ａ∫ｄｔ　＝　ａｔ　＋　Ｃ１　・・・（あ）

ｔ＝０　のときのｖを「初速」と置けば、
初速　＝　ａ×０　＋　Ｃ１
初速　＝　Ｃ１
よって（あ）は、
ｖ　＝　ａｔ　＋　初速

ｘ　＝　∫ｖｄｔ　＝　∫ａｔ　＋　初速　ｄｔ
　＝　ａ∫ｔｄｔ　＋　初速∫ｄｔ
　＝　１/２・ａｔ^2　＋　初速×ｔ　＋　Ｃ２　・・・（い）

ｔ＝０　のときのｘを「最初の位置」と置けば、

最初の位置　＝　１/２・ａ×０^2　＋　初速×０　＋　Ｃ２
最初の位置　＝　Ｃ２
よって（い）は、
ｘ　＝　１/２・ａｔ^2　＋　初速×ｔ　＋　最初の位置

--------------------------------

では、逆に微分。

速度ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ｄ／ｄｔ（１/２・ａｔ^2　＋　初速×ｔ　＋　最初の位置）
　＝　ａｔ　＋　初速

加速度　＝　ｄｖ／ｄｔ　＝　ｄ／ｄｔ（ａｔ　＋　初速）
　＝　ａ

No.1 回答者： nananotanu 回答日時： 2011/12/31 00:34

式(1)は速度ｖが定数の時にしか成り立ちません