正五角形の問題です。

正五角形ABCDEがある。(点は、この順に並んでいるものとする。)

ACとBEとの交点をG、
ADとBEとの交点をFとする。

(１)円周角の定理を利用して、△AGFと△BAFの相似を証明しなさい。


(２)∠GAF=36゜であることを、証明しなさい。

(３)GF=１、AF=χとおくとき (１)を利用して χの値を求めなさい。




(１)と(２)は 理解できています。

(３)の解き方が わかりません。

専門学校の入試問題です。

分かる方がいましたら
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/01/11 21:55

(３)について

円周角の定理から∠BAG=∠ABG=∠EAF=∠AEF
従って、∠AGF=∠BAG+∠ABG=∠EAF+∠AEF=∠AFG　となり、
△AGFは二等辺三角形でAF=AGになります。また∠BAG=∠ABGですから
△ABGも二等辺三角形になり、AG=BGになります。
以上と△AGFと△BAFが相似であることから、AF/BF=GF/AF、
BF=BG+GFですから、AF/(BG+GF)=GF/AF
この式にAF=AG=BG=X、GF=1を代入して、X/(X+1)=1/X
これを解いてX=(1±√5)/2となり、マイナスの数値を捨てて、
答えはX=(1+√5)/2になります。

この回答へのお礼

詳しい説明、ありがとうございます！

納得できました！

お礼日時：2012/01/12 11:23

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/01/11 18:04

△AGF,△BAF並びに△BAGが二等辺三角形であることを利用します。

最後の△BAGが二等辺三角形であることは実際に書いてみるとなんとなくわかると思いますが、実際に角度を計算すると確認できます。

すると次の関係式が出てきます。
AF=AG=BG
これでBFを1とχを用いて表すことができます。
後は相似比の式からχの方程式を得てそれを解くとよいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

わかりました！

お礼日時：2012/01/12 11:21