ガウスの法則とクーロンの法則の関係

お世話になります。

基本的な質問で恐縮です。

ガウスの法則
div E = ρ/ ε
より、電荷のない場所ではdiv E がゼロだと理解しています。

一方、クーロンの法則によると、1次元の原点に点電荷Q（＞0）[C]が
あるとすると、電界の大きさは
E(x) = k * Q / r^2 (k = 1 / 4πε) ・・・式(1)
と書けますよね。
しかし、式(1)のdivを計算すると、divE = － k Q / r^3 となって、
電荷のある原点以外でもdiv E がゼロ以外の値を持つことに
なってしまいます。
しかも Q>0 なのに、divがマイナス、つまり吸い込みです。

矛盾しているように見えるのですが、どう考えればよいのでしょうか。

お手数をお掛け致しますが、よろしくお願い致します。

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/05/20 23:52

それは単に計算を間違えてるだけです。

電場がベクトルなの忘れてますね。

ベクトルにするには単位ベクトル(r→/r)をかけないといけないので、
電場のx成分は定数を除いて

Ex ～ (x-x0)/r^3。

なので∂r/∂x = (x-x0)/rを考慮すると

∂Ex/∂x ～ 1/r^3 - 3(x-x0(/r^4 ×(x-x0)/r = 1/r^3 - 3(x-x0)^2/r^5

したがって

div E = ∂Ex/∂x +∂Ey/∂y +∂Ez/∂z
～ 3/r^3 - 3 [ (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2]/r^5
= 3/r^3 - 3/r^3 ＝ 0

と、r=r0以外、ちゃんと0になります。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

すみません、まず
> divE = － k Q / r^3
は
> divE = － 2 k Q / r^3
の間違いでした。

> div E = ∂Ex/∂x +∂Ey/∂y +∂Ez/∂z

たしかにy成分の湧き出しとz方向の湧き出しも
足せばゼロになりますね。

私は、1次元なので、x0 = 0, x = r として、
div E = ∂Ex/∂x ∝ (∂/∂x)(1/ r^2) = － 2 / r^3
とすればいいと思っていました。

そこで質問なのですが、クーロンの法則は、
3次元空間を前提としているのでしょうか。

そうだとすると、1次元版や2次元版のクーロンの法則の
ようなものはないのでしょうか？

補足日時：2012/05/21 09:42

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/05/21 08:59

>divE = － k Q / r^3

式の計算過程を示してみてください。
素直に計算すればこうはならないはず。
どこかに間違いがあります。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
計算過程を、No.1様の補足に書かせていただきました。

補足日時：2012/05/21 09:43

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/05/21 10:03

No.2 です。

なるほど、デカルト座標の計算方法を
そのまま極座標にもちこもうとしたわけですね。

余分な知識かもしれませんが、ここがけっこうおもしろいです。
http://www.iwata-system-support.com/CAE_HomePage …

No.4 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/05/21 10:25

>そうだとすると、1次元版や2次元版のクーロンの法則のようなものはないのでしょうか？

ガウスの法則の積分形から計算すれば、すぐに出てきます。
Eの積分を極座標で行ったときのヤコビアンの形がそのままr依存性になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

アドバイスを元に、ネットを探しましたところ、
次のような情報を見つけました。

1次元：Eは定数、φ ∝ |x|
2次元：E ∝ 1/r、φ ∝ log(r)
3次元：E ∝ 1/r^2 、φ∝ 1/r
(http://letsphysics.blog17.fc2.com/blog-entry-259 … より)

私は１次元の問題に３次元の式を使おうとしていたと
いうことで納得しました。

お二方、ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/21 21:17