三重積分の体積の求め方

x=(2+cosφ)×cosθ
y=(2+cosφ)×sinθ
z=sinφ
のパラメータが与えられている時の体積の求め方を教えてください。（θ,φの範囲は共に0から２πです。）

No.1 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2004/01/20 03:01

体積をVとすると上半分だけ求めて2倍すれば言いから

V/2=∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz
-∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz

ここでdz=cos(φ)・dφと置換積分すると

V/2=∫(φ：0～π/2)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ
-∫(φ:π～π/2)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ
=∫(0<φ<π)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ

すなわち
V=2・∫(0<φ<π)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ

この回答への補足

>>V/2=∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz
-∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz
最初にあったこの式なんですが、なぜdzの式だけで表せるんですか？どうやって式をだしたのかわからないので、説明できるようならお願いします。
あとこの式を解くと０になっちゃいませんか？

補足日時：2004/01/20 09:31

No.2 回答者： ryn 回答日時： 2004/01/20 11:07

この立体は z = sinφ では半径 2 + cosφ の円を描きます。

そのことから、この立体は z > 0 で
茶碗を伏せたような形をしていることがわかります。

keyguy さんの最初の式は半径 2 + cosφ の円の面積
　π・(2+cos(φ))^2
を 0≦z≦1 で積分しています。

この回答へのお礼

ありがとうございました～。理解できました。

お礼日時：2004/01/20 19:50

No.3 回答者： keyguy 回答日時： 2004/01/20 11:31

若干式が不正確でしたね。

素直に計算しましょう。

体積は
∫(φ:0→2・π)・π・(2+cos(φ))^2・(cos(φ)・dφ)
=π・∫(0<φ<2・π)・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ
です。
No.2にあるように図形をイメージしてください。
半径(2+cos(φ))の円をz方向に積分したらいいのです。
微小高さの円盤を積分していくのです。
その高さはdz=cos(φ)・dφですね？
上の積分は内部を自動的にくりぬいてくれるので都合がいいのです。

この回答へのお礼

どうも何度もありがとうございました。理解できました。

お礼日時：2004/01/20 19:52