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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
点Oを位置ベクトルの始点とする。
辺OAを2:1に内分する点がDだから、
OD→=2/3OA→・・・※1
辺OCを1:1に内分する点がFだから、
OF→=1/2OC→・・・※2
四角形OABCは平行四辺形であるから、ベクトルの足し算の性質より
OB→=OA→+OC→・・・※3
辺OBを2:5に内分する点がEであるから、
OE→=2/7OB→ これに※3を代入
=2/7OA→+2/7OC→・・・※4
ここで、
DE→=OE→-OD→
=2/7OA→+2/7OC→-2/3OA→ (∵※4と※1を代入)
=-8/21OA→+2/7OC→・・・※5
DF→=OF→-OD→
=1/2OC→-2/3OA→ (∵※1と※2を代入)
=-2/3OA→+1/2OC→・・・※6
※5と※6を比較。
DF→がDE→の何倍になっているかを調べる。
------------------
OA→の係数を比較
-8/21t=-2/3
t=(-2/3)*(-21/8)=4/7
OCの係数を比較
2/7t’=1/2
t’=1/2*7/2=7/4
よって、
DF→=7/4DE→
-----------------
点線部分は計算用紙にやればいいです。答案に書く必要はありません。
ゆえに点D,E,Fは一直線上にある。
(補足:DF→とDE→は式の形より平行であることがわかる。また始点が点Dで共通だから、DF→とDE→は重なる。よって結論がいえる)
解答方針:まず図を描いてください。図を見ながらたんたんを式を立てていけばいいです。
方針は位置ベクトルの始点をまずきめる。この問題では点Oを始点に取ります。
D,E,Fが一直線上ということはDF→=kDE→が成り立つことを示せばよい。
DF→=OF→-OD→=・・・
DE→=OE→-OD→=・・・
という感じで表し,最終的にDF→=○DE→がいえればOK。
No.2
- 回答日時:
>平行四辺形OABCの辺OAを2:1に内分する点をD、対角線OBを2:5に内分する点をE、辺OCの中点をFとする。
>(1)三点D,E,Fは一直線上にあることを示せ
事務的にいきそうな、「二点 D, F を結ぶ直線が対角線 OB を内分する比」を勘定してみる。
点 O を起点として、ベクトル OA ならベクトル a 、などと略記する。
DF 間のベクトル e は、0≦k≦1 として、
e = (2/3)*a + k*{(1/2)*c - (2/3)*a}
= (2/3)(1-k)*a + (k/2)*c …(*)
ベクトル e が ベクトル b = a+c のスカラー倍 s になるのは、
e = s*(a+c) …(**)
(*) と (**) を連立させて (平行四辺形がペチャンコでなければ)
(2/3)(1-k) = (k/2) = s
k = 4/7
s = 2/7 (2:5 に内分)
…てな調子 (やや、斜め進み気味)。
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