No.7ベストアンサー
- 回答日時:
代数的に解くのであれば、
√x=X ,√y=Yとおいて、両辺を二乗すると、
X^2+2XY+Y^2<=k^2(2X^2+Y^2)
(2k^2-1)X^2-2XY+(k^2-1)Y^2>=0が全ての正の実数に対して成立するには、(2k^2-1)>0 ,判別式<=0を利用します。
D=Y^2-(2k^2-1)(k^2-1)Y^2=Y^2(1-(2k^2-1)(k^2-1))<=0
ここで、Y^2>0であり、k^2=Kとおくと、
K(2K-3)>=0ここで、K>0よりK>=3/2、そして元に戻すと
k^2>=3/2よって、k>=√(3/2)=(√6)/2
No.6
- 回答日時:
以前にも同じ問題があったような気がしますが・・・
√x+√y≦k√(2x+y)ですね?
私が知っている解き方は2通りあります。
ひとつめ
x=0の時、成り立つ条件はk≧1
x>0のとき、√(2x+y)>0で両辺を割って
k≧(√x+√y)/√(2x+y)=(1+√(y/x))/√(2+(y/x))
=(1+√t)/√(2+t)
t=y/xと置きました。すると、
f(t)=(1+√t)/√(2+t)の最大値がkの最小値となります。
ふたつめ
コーシーシュワルツの不等式から
(√2x*(1/√2)+√y*1)^2≦((√2x)^2+(√y)^2)((1/√2)^2+1^2)・・・☆
よって、
(√x+√y)^2≦(3/2)(2x+y)
(等号成立はx:y=1:4)
両辺を1/2乗して√x+√y≦(√6/2)(√2x+y)
なお、☆は
p=(√2x,√y)、q=(1/√2,1)とすれば、
(p・q)^2≦|p|^2|q|^2
の形です。(ベクトルの矢印は省略)
ちなみに、この問題は1995年東京大学(理系)の1番の問題です。
No.4
- 回答日時:
√x+√y≦k√2x+y
k ≧ {xとyの式}
の形に直すと、{xとyの式}の最小値を求める問題になりますね。
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