ｆ（ｘ）＝ax＾3　＋　bx＾2　＋　cx　＋　ｄ

Question

ｆ（ｘ）＝ax＾3　＋　bx＾2　＋　cx　＋　ｄ
がある点に関して対称であることを示せ。

という問題なのですが、解答の解説が難しくて
どなたかわかりやすく説明していただけませんか
お願いいたします。

ereserve67 · Accepted Answer

a≠0と仮定します．３次関数のグラフは変曲点に関して対称であることが知られています．

証明は平行移動を利用します．

f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b=6a(x+b/3a)

変曲点(-b/3a,f(-b/3a))を原点に移すような平行移動をすると，y=f(x)のグラフは次の方程式のグラフに移ります．

y+f(-b/3a)=f(x-b/3a)
y=f(x-b/3a)-f(-b/3a)
y=a(x-b/3a)^3+b(x-b/3a)^2+c(x-b/3a)+d-{a(-b/3a)^3+b(-b/3a)^2+c(-b/3a)+d}
y=a{x^3-3x^2(b/3a)+3x(b/3a)^2-b/27a^3}+bx^2-2(b^2/3a)x+b^3/9a^2+cx-bc/3a+d-{-b/27a^2+b^3/9a^2-bc/3a+d}
=ax^3-bx^2+(1/3)(b^2/a)x+bx^2-(2/3)(b^2/a)x+b^3/9a^2+cx-bc/3a+d+b/27a^2-b^3/9a^2+bc/3a-d
=ax^3+(c-b^2/3a)x

すなわち

y=ax^3+(c-b^2/3a)x

これは奇数次数しか含まない３次関数だからそのグラフは原点対称になります．

平行移動を元に戻して考えると

「y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+dのグラフは変曲点(-b/3a,f(-b/3a))に関して対称」

ということが分かりました．

Tacosan · Answer

「曲線がある点に関して対称である」というのがどういう条件を満たすときなのかは理解できているのですか?

chie65535 · Answer

１．aに関して、a＜0、a＞0のそれぞれについて、グラフの性質が変わらないことを示す。

２．bに関して、b＜0、b=0、b＞0のそれぞれについて、グラフの性質が変わらないことを示す。

３．cに関して、c＜0、c=0、c＞0のそれぞれについて、グラフの性質が変わらないことを示す。

４．dに関して、d＜0、d=0、d＞0のそれぞれについて、グラフの性質が変わらないことを示す。

５．ｆ（ｘ）＝x＾3　＋　x＾2　＋　xについて（0,0）で点対称である事を示す。

１～５から、ｆ（ｘ）＝ax＾3　＋　bx＾2　＋　cx　＋　ｄがある点で点対称である事が判る。

その際「ある点」を「変曲点」と言い、三次関数が変曲点で点対称なのは有名な事実です。

misumiss · Answer

a に関して, 条件は何も与えられていないのでしょうか。
例えば, a = 0 かつ b ≠ 0 ならば, 曲線 y = f(x) は放物線になりますけれど。

178-tall · Answer

>ｆ（ｘ）＝ax＾3　＋　bx＾2　＋　cx　＋　ｄ　がある点に関して対称であることを示せ。

2 次多項式では「偶対称」で、対称軸 (x 座標) の出し方も習いましたね。
ならば、3 次多項式 (a≠0) では？

まず「偶対称」なのか、「奇対称」か？
これは、大局的に見ればわかりますね。
わかれば、「対称点 (x 座標) 」の出し方です。
この場合は、微分値が「偶対称」のはずなので、2 次多項式の経験が生きてくる。

178-tall · Answer

>この場合は、微分値が「偶対称」のはずなので、2 次多項式の経験が生きてくる。

「微分」って何？… って言われそう。
わからなければ、3 次多項式のまま 2 次多項式のときの経験を生かそう。

P(x) = (x+p)*(ax^2 + b'x + c') + d
と変形したとき、ax^2 + b'x + c' の対称軸 x = -b'/(2a) が -p と等しくなるよう、p を決めればよい。
その理由も考えてみて…。

178-tall · Answer

>a　≠　０　という条件はないようなのですが・・・

これがテストで、その条件が無ければ、引っ掛け問題の可能性あり。

有効な「お返し」は、0, 1, 2, 3 次に場合わけして、ズラズラと答案を書き連ねてやること。

ｆ（ｘ）＝ax＾3 ＋ bx＾2 ＋ cx ＋ ｄ

「曲線がある点に関して対称である」というのがどういう条件を満たすときなのかは理解できているのですか?

１．aに関して、a＜0、a＞0のそれぞれについて、グラフの性質が変わらないことを示す。

a に関して, 条件は何も与えられていないのでしょうか。

この回答への補足