物理の単振動について

復元力はなぜ　
F = - mω²x
と表すことができるのですか？
ωが登場する理由を教えてください

これは運動方程式を解くことで導けるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/05 22:39

運動方程式

mdx^2/dt^2=F

において，xをばねの自然長からの伸び，フックの法則をF=-kxとすると

mdx^2/dt^2=-kx

（☆）dx^2/dt^2=-(k/m)x

このタイプの微分方程式は三角関数を解とします．それをx=Acos(ωt+θ)とおくと

dx/dt=-ωAsin(ωt+θ)

（★）dx^2/dt^2=-ω^2Acos(ωt+θ)=-ω^2x

☆と★を比べると

○ω^2=k/m,ω=√(k/m)

この関係がある時☆と★が同じものになり，☆の解は

x=Acos(√(k/m)t+θ)

であることがわかります．Aやθは初期条件から決まる定数ですが，√(k/m)はこの系の固有の量で，もっと重要な量です．

○から

k=mω^2

とかけて復元力が

F=-mω^2x

とかけるのです．つまり，☆の解の特徴を表す角振動数で最初から復元力を書いておこうと言う意図なのです．

解を出した後はkとｍよりもωで計算した方が楽なのです．

No.1 回答者： tanuki4u 回答日時： 2013/01/05 22:19

http://www.buturigaku.net/main01/Mechanics/Mecha …

運動方程式から、「こりゃ、三角方程式で解けるわい」
『この式を見ると、「xを2回微分したらマイナスxになる」ということに気が付く。』以上引用

正確には微分方程式を解くことになるんだろうけど