量子力学の問題についての質問です。 x軸上を運動する1次元調和振動子 ψ(x)=Nx(exp)(-1

量子力学の問題についての質問です。
x軸上を運動する1次元調和振動子 ψ(x)=Nx(exp)(-1/2a^2x^2)
の波動関数を仮定し、N:定数、質量:m、角振動数:ω、のときこれがシュレディンガー方程式を満たす定数aとエネルギーEについて教えていただけると嬉しいです、、
補足ですが、与えられた条件として調和振動子の位置エネルギーはU=(1/2)mω^2x^2です。

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/11/14 00:22

x軸上を運動する1次元調和振動子 ψ(x)=Nx(exp)(-1/2a^2x^2)

の波動関数を仮定し、N:定数、質量:m、角振動数:ω、のときこれがシュレディンガー方程式を満たす定数aとエネルギーEについて

時間に依存しないシュレディンガー方程式を①とする。
Hψ=Eψ＿①
一次元調和振動子のハミルトニアンHは②である。
H=(－ℏ²/2m)(∂/∂x)²+(1/2)mω²x²＿②
①に②を入れると、③となる。
(－ℏ²/2m)(∂/∂x)²ψ+(1/2)mω²x²ψ=Eψ＿③
式④と⑤の変数変換を行うと、③は⑥となる。
x=(√(ℏ/mω))ξ＿④
E=ℏωε＿⑤
(－1/2)(∂²/∂ξ²)ψ+(1/2)ξ²ψ=εψ
∂²ψ/∂ξ²+(2ε－ξ²)ψ=0＿⑥
次に式⑦により、ψをuに変数変換する。
ψ= u exp(－ξ²/2)＿⑦
⑦を微分すると⑧、さらに微分すると
∂ψ/∂ξ= u' exp(－ξ²/2)－ξu exp(－ξ²/2)＿⑧
∂²ψ/∂ξ²=u'' exp(－ξ²/2)－2ξu' exp(－ξ²/2)+(ξ²－1) u exp(－ξ²/2)
　　=(u''－2ξu' +(ξ²－1)u)exp(－ξ²/2)＿⑨
⑥に⑨を入れると⑩になる。
∂²ψ/∂ξ²+(2ε－ξ²)ψ=0
=(u''－2ξu' +(ξ²－1)u)exp(－ξ²/2)+(2ε－ξ²)u exp(－ξ²/2)=0
u''－2ξu' +(2ε－1)u)=0＿⑩
(2ε－1)=2n＿⑪　と置き換えると⑩は⑫となる。
u''－2ξu' +2n u=0＿⑫
式⑫をハミルトンの微分方程式という。
nが正整数のときn=0,1,2,3,･･･に対して、解uは多項式となる解u=Hｎ(ξ)があり、
Hn(ξ)をｎ次のハミルトン多項式という。
Ｈ₀(x)=1
Ｈ₁(x)=2x
Ｈ₂(x)=4x²－2
Ｈ₃(x)=8x³－12x
Ｈ₄(x)=16x⁴－48x²+12
⑪からε=n+1/2＿⑬
⑤からエネルギーはE=ℏωε=ℏω(n+1/2)＿⑭
nを量子数という。量子数ｎが０のときでも、エネルギーは０ではなくてE= ℏω/2である。
これを零点エネルギーといい、ｎが０のときの波動関数の運動を零点振動という。
⑦から波動関数はψ= u exp(－ξ²/2) = Hn(ξ) exp(－ξ²/2)＿⑮
④からx=(√(ℏ/mω))ξ　ξ=(mω/ℏ)²x＿⑯　により⑮の変数を置き換えると
ψ= Hn((mω/ℏ)²x) exp(－(mω/ℏ)⁴x²/2)＿⑰
n=1のときの波動関数は、Ｈ₁(ξ)=2ξを使って⑱となる。
ψ= 2(mω/ℏ)²x exp(－(mω/ℏ)⁴x²/2)＿⑱
貴方の質問文にある式⑲を⑱と比較すると、量子数n=1だから
ψ(x)=Nx(exp)(-1/2a^2x^2)＿⑲
a²=(mω/ℏ)⁴ 、a=(mω/ℏ)²＿⑳
Eは⑭にn=1を入れるとE =3ℏω/2＿㉑
答え
定数aは(mω/ℏ)²、エネルギーEはE =3ℏω/2となる。