常用対数と自然対数の違い

Ｒ－Ｃ回路があります。抵抗Ｒにかかる電圧をＶｒ、コンデンサにかかる電圧をＶｃとする。

Ｖｒ＝20（1-e^(-500t))

Vc＝20e^(-500t)

となりました。Ｖｒ＝Ｖｃとなる時間を求めよ、という問題があり、計算途中で両辺に底を自然対数としてlogをとりました。

その結果答えが合いませんでした。次に底を常用対数　10　で計算すると合いました。

どうやって常用対数と自然対数の使うときを見極めればよいですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ufon 回答日時： 2013/01/26 13:46

計算方法の違いですから、次のように、どちらで計算しても同じ結果になります。

・常用対数の場合

20（1-e^(-500t))＝20e^(-500t)）　　　　1＝2e^(-500t) e^(-500t)＝1/2

log e^(-500t)＝log(1/2)　　　500t×loge=0.3　　　t=0.3/(500loge)=0.3/(500×0.434)≒0.00138

・自然対数の場合

ln e^(-500t)＝ln(1/2)　　　500t=0.693　　　t=0.693/500≒0.00138
　
　　e≒2.718　です。

通常は常用対数を使います。

No.4 回答者： drmuraberg 回答日時： 2013/01/26 11:09

単なる計算間違いでは。

Vr=Vc　の条件から
exp(-500t)=1/2

1)両辺の自然対数Lnを取る
　-500t*Ln(e)=Ln(1/2)
　よって(Ln(e)=1を使い）
t=Ln(1/2)/(-500)=0.69315/500
=1.386x10^(-3)

2)両辺の常用対数Logを取る
-500t*Log(e)=Log(1/2)
よって
　t=Log(1/2)/(-500*Log(e))
=-0.30103/(-500*0.434297)
=1.386x10^(-3)

Log(e)とLn(e)の違いに注意してください。

この回答への補足

ありがとうございます。関数電卓で計算していたのですが、logと書いてあるのは常用対数をとっていたということでしょうか？

補足日時：2013/01/26 13:24

No.3 回答者： nurunurunuru 回答日時： 2013/01/26 02:41

微分方程式で、例えば

di/dt=λi
となれば解はeを底にとった自然対数です。

LCRを基本とした電気回路では自然対数になり、電子回路の入出力の比(増幅度)を表すには10を底にした常用対数になります。
詳しい解説は省略します。

No.2 回答者： f272 回答日時： 2013/01/26 01:27

> どうやって常用対数と自然対数の使うときを見極めればよいですか？

どういう計算をしても正しく計算していれば正しい解にたどりつく。使いやすい方を使えばよい。

No.1 回答者： private3int 回答日時： 2013/01/26 01:10

底がeか10の違い。

与式の場合、普通に考えれば自然対数を用いてtを求めます。数学の問題なら質問者様もそうするでしょう。常用対数を使うと数学的に矛盾が生じるはずです。
したがって、参照した解答自体の信憑性に疑問があります。

底10を使う例として、フィルタの周波数特性調べるときにパワーをデシベル表示する場合です。
パワーP[W] をデシベル表示すると 10logP になります。工学では底10の対数は log、底eの対数は ln で記述されることもあります。