特殊相対論での非慣性系の扱い

時折「特殊相対論では加速度系は扱えない」という趣旨の主張を見聞きするのですが、少なくとも私はそのような事が書かれている文献を読んだことがありません。
何冊か相対論の教科書を見てもそう明記されているものを見つける事ができませんでした。
もっとも、目次から関係のありそうな節を探して、斜め読みしただけなので(逆の話が書かれているものを除くと)どこにも書いてなかったとは言い切れないのですが。

そこで質問なのですが、
「特殊相対論では加速度系(非慣性系)は扱えない」
という事が書かれている文献を読んだことがある方はいらっしゃいますか？

もし読んだ事のある方がいれば、どのような文脈でどのような記述であったのか教えて頂きたいと思っています。
または具体的な文献が分かる方は文献名のみでも差し支えありません。

No.15 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/03/07 21:30

　#11です。

（同年代の(^^)）#14さんへ。

　この発言は言葉の遊びみたいなので止めようか、とも思ったのですが、お聞きしたい事があったので書いちゃいました。


＞ただ特殊相対論を加速度運動に適用する際、多少天下り的な新しい論理を許容しなければならないことも事実です。

　これは、相対論的運動方程式を導くあたりの事でしょうか？。これが、お聞きしたかった事です。


　という訳で、以下は余談というか、言葉の遊びかも知れません。

＞微妙。加速度系の定義によります。等価原理を認め、重力も加速度系に含めるならば特殊相対論の拠って立つところの「慣性系」は特殊な存在で現実には存在しません。こうなると特殊相対論は「そのまま」では使えません。

＞特殊相対論が重力理論と相容れないといわれるのはこのあたりからです。

　等価原理を認め、まさにその等価性から加速度系も重力作用に含めるなら、特殊相対論の拠って立つところの「慣性系」は「理想化された」特殊な存在ではあるが、現実に存在するものと認めても良い。

　こうなると、等価原理（一般相対性原理）を受け入れた後では非常に気持ち悪いが、特殊相対論は「そのまま」使える事になり、重力理論とはいちおう無関係に考える事ができる。でも一般相対性原理を優先すると、特殊相対論が重力理論と相容れない事もわかる・・・（^^；）。


　結局、多くの誤解の故郷は、ここなんだと思うんですよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2013/03/09 20:15

No.14 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/03/07 13:14

>あなたにも分かる相対性理論　茂木健一郎 著

>「・・特殊相対性理論が、等速直線運動には適用できるが、
>加速度運動については適用できないのは、大きな問題だった。・・」

ここだけ読む限りでは一応間違い。

ただ特殊相対論を加速度運動に適用する際、多少天下り的な新しい論理を
許容しなければならないことも事実です。

>面白いほどわかる相対性理論　大宮信光 著
>「・・この理論が慣性系以外の、加速度系（加速度のある座標系）では使えないこと。・・」
>相対性理論　内山龍雄 著
>「・・しかし、この理論にも２つの欠点がある。その1つは、それがだた慣性系のあいだの関係のみを扱っ>た理論であるということである。
>第２の欠点は、この理論では重力（万有引力）の
>問題を扱っていない（というよりも扱うことができない）ということである。・・」

微妙。加速度系の定義によります。等価原理を認め、重力も加速度系に含めるならば
特殊相対論の拠って立つところの「慣性系」は特殊な存在で現実には存在しません。
こうなると特殊相対論は「そのまま」では使えません。

特殊相対論が重力理論と相容れないといわれるのはこのあたりからです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

将来、このページを見られた人などのために、本の内容が正しいかどうかを書いて下さるのは構いませんが、私の質問の趣旨からは外れるものであるので、私からは何もコメントをしない点はご了承ください。

お礼日時：2013/03/09 20:08

No.13 回答者： alchool 回答日時： 2013/03/05 15:51

No.10 woorexさん

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あなたにも分かる相対性理論　茂木健一郎 著
「・・特殊相対性理論が、等速直線運動には適用できるが、加速度運動については適用できないのは、大きな問題だった。・・」
面白いほどわかる相対性理論　大宮信光 著
「・・この理論が慣性系以外の、加速度系（加速度のある座標系）では使えないこと。・・」
相対性理論　内山龍雄 著
「・・しかし、この理論にも２つの欠点がある。その1つは、それがだた慣性系のあいだの関係のみを扱った理論であるということである。第２の欠点は、この理論では重力（万有引力）の問題を扱っていない（というよりも扱うことができない）ということである。・・」
----------------------------------------------------------------------------------

最初の2つの啓蒙書は持ってないですが三番目の
相対性理論　内山龍雄 著　に関しては
第5章「一般相対性理論」冒頭で確かに
「・・しかし、この理論にも２つの欠点がある。その1つは、それがだた慣性系のあいだの関係のみを扱った理論であるということである。第２の欠点は、この理論では重力（万有引力）の問題を扱っていない（というよりも扱うことができない）ということである。・・」

といってはいますが、同ページそのすぐ下に
「慣性系に対して加速度運動（例えば回転）をしている座標系（こレを加速系と呼ぶことにする）でも現象を基準とするための基準という役割を果たすことは可能である。」
と書いてあります。
（加速系を扱うには、慣性系の間の関係さえあれば十分です。他に何が必要というのでしょう？ガリレイ変換も慣性系の間の関係しか示されていませんが、ニュートン力学で加速系は取り扱えます。）
文章の一部だけを切り取って都合よく読み手の解釈を歪めるのはいかがかと思いますが？

またその一般相対性理論が登場する以前の章、第４章「相対論的力学」では、
頻繁に距離を時間で２解微分したもの、つまり加速度の式がこれでもかと登場しています。
故にこの本では、事実上特殊相対性理論の範疇でバリバリに加速を取り扱っています。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私も教科書を入手し次第、内容を確かめてみたいと思います。

お礼日時：2013/03/09 19:39

No.12 回答者： shiara 回答日時： 2013/03/05 00:48

私がNo.9の回答で書いている「特殊相対性理論においても加速度系を扱うことはできます」についてですが、これは、加速度系から見て物体の運動を記述できる、という意味で使っています。

そのやり方として、慣性系から見た運動を座標変換によって加速度系に移すということを述べました。

これに対し、加速度系で適切な運動方程式をたてて、それを解いて運動を記述できる、という意味で「加速度系を扱う」という表現をするのであれば、それは特殊相対性理論では扱えないと考えます。それが特殊相対性理論では扱えないことから、一般相対性理論が生まれたというのが私の理解です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/09 19:37

No.11 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/03/04 19:54

#8です。

＞加速度系を扱えないという記述の方が圧倒的に多く正しいです。

　#8の意味で、上記が間違いだとは言いませんが、一般的にそう言った場合「扱えない」の意味が微妙なんですよ。


＞あなたにも分かる相対性理論　茂木健一郎 著

　この本は持っていませんが、書評を読む限りそんなに変な本だとは思いませんでした。茂木さん自身は承知の上で書いていると信じますが、

＞「・・特殊相対性理論が、等速直線運動には適用できるが、加速度運動については適用できないのは、大きな問題だった。・・」

　実際そこが問題でしたが、上記が「特殊相対性理論の枠内では、加速運動を記述すらできない」という意味であるなら、それは間違いです。しかし一般的傾向として、そのように受け取られている気はします。


＞面白いほどわかる相対性理論　大宮信光 著
＞相対性理論　内山龍雄 著

　この2冊も持っていませんが、重要なのはどちらも、「特殊相対性理論の枠内では、加速運動を記述すらできない」とは一言も言っていないと思われる事です。特に、内山先生がそんな事を言うはずがありません。

　まず加速度運動の記述が可能かどうかと、加速度系（非慣性基準系）の記述が可能かどうかは、厳密に分けて考える必要があります。運動方程式とは（ニュートン力学でも相対論的力学でも）、「あくまで慣性基準系に基づいて」、加速度運動の記述を与えるものだからです。

　次に加速度系を扱えないと言った時には、物理法則不変な形では（共変な形では）加速度系を記述できない事と、慣性基準系に依拠すれば（共変ではないが）加速度系を記述できる事とを、明確に区別する必要があります（誤解を招かないために）。

　じっさいニュートン力学は、共変な形では加速度系を記述できないが、加速度系も加速運動も、慣性基準系に基づいて記述可能な体系であり、適用限界内であれば、まるごと4世紀の間、一回も不正解を与えていない理論です。

＞ニュートン力学で加速系を扱えるのに、ニュートン力学を包括している特殊相対論で加速系を扱えないはずがないという文献もありますが、ニュートン力学は「包括」されているのではなく、ｖ＝0以外はすべて「近似」扱いです。

　そう簡単に言っちゃいけないでしょう。近似は、ほとんど正しいという意味でもあります。「勘違い」の場合もありますが、それはケースバイケースで、具体的に理論に踏み込まないと結論は出せません。

　ニュートン力学と全く同じ理論構成をめざし、特殊相対性理論に基礎をおいた相対論的力学が有効に機能している以上、「勘違い」ではないと思います。粒子加速器の中の陽子や電子の古典力学的（大局的）運動の様子は、相対論的力学によって計算され、加速器は設計されてるはずです。


＞「加速度系での式は共変形式にはならないだけで、扱う事はできる」
というスタンスであるのなら、「特殊相対論の範囲内では答えることができない問題である」という表現にはならないと思います。

　「共変形式にはならない」事は相対論の文脈では、後の一文に直結し得るんですよ。何故なら相対性理論は、理論を共変形式に書けるかどうかを問題にするからです。

　　・「・・・本来、物理学の法則は、人間が勝手に便宜上選んだ座標系にはよらない普遍的真理である。したがって物理法則は、慣性座標系間の変換にたいして共変形式に書けるだけでなく、・・・中略・・・、一般座標変換に対しても共変形式に書かれるはずである。この原理を一般相対性原理という」，岩波基礎物理シリーズ9，相対性理論，佐藤勝彦．


　上記の趣旨は、相対論の成書の圧倒的多くに、書かれているはずです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>＞「加速度系での式は共変形式にはならないだけで、扱う事はできる」
>というスタンスであるのなら、「特殊相対論の範囲内では答えることができない問題である」という表現にはならないと思います。

>　「共変形式にはならない」事は相対論の文脈では、後の一文に直結し得るんですよ。何故なら相対性理論は、理論を共変形式に書けるかどうかを問題にするからです。

これは「メラーが加速度系は扱える」と言っているのと仰っているのでしょうか。
そうであれば、#5さんの要約の範囲でも、それ以外の記述でもいいですが、どのような記述からそう解釈されたのか補足をして下さると嬉しいです。(メラーが正しいことを言っているのかどうかを問題にしているわけではありません)

お礼日時：2013/03/09 19:34

No.10 回答者： woorex 回答日時： 2013/03/03 22:49

加速度系を扱えないという記述の方が圧倒的に多く正しいです。

あなたにも分かる相対性理論　茂木健一郎 著
「・・特殊相対性理論が、等速直線運動には適用できるが、加速度運動については適用できないのは、大きな問題だった。・・」
面白いほどわかる相対性理論　大宮信光 著
「・・この理論が慣性系以外の、加速度系（加速度のある座標系）では使えないこと。・・」
相対性理論　内山龍雄 著
「・・しかし、この理論にも２つの欠点がある。その1つは、それがだた慣性系のあいだの関係のみを扱った理論であるということである。第２の欠点は、この理論では重力（万有引力）の問題を扱っていない（というよりも扱うことができない）ということである。・・」

探せばまだまだいっぱい出てきますよ。加速度系で扱えるという文献はごく少数でしょう。
ニュートン力学で加速系を扱えるのに、ニュートン力学を包括している特殊相対論で加速系を扱えないはずがないという文献もありますが、ニュートン力学は「包括」されているのではなく、ｖ＝0以外はすべて「近似」扱いです。「近似」理論が扱っているのだから特殊相対論でも扱えるというのは、単なる勘違いです。ただし、慣性系のガリレイ変換からローレンツ変換を導出したように、加速度系を使ってローレンツ変換を導出しているならこの限りではありません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
たくさんの本のご紹介ありがとうございます。後日確認させていただきます。

内山先生の本について#13さんのご指摘がありますが、どう思われますか。

補足日時：2013/03/09 19:19

No.9 回答者： shiara 回答日時： 2013/03/02 02:06

No.5のものです。

補足に対して回答します。

この本の特殊相対性理論の章において、慣性系と加速度系の間の座標変換式の求め方が書いてあります。§45から§47を参照下さい。後半の一般相対性理論の章で、この求め方を使って、具体的な座標変換式が示されています。

ご指摘のとおり、同じ本の中で書いてあることに整合が取れていないと思います。加速度系から見た場合の任意の物体の運動は、慣性系でのその物体の運動が分かっていれば、その運動の座標を慣性系から加速度系に座標変換すれば求められます。固有時の求め方はもっと複雑になりますが、何とか求められます（ただし、Δτではなく、τそのものを求めることになります）。つまり、特殊相対性理論においても加速度系を扱うことはできます。

私が引用した§20では、いわゆる双子のパラドックスの問題を提示しているのですが、一般相対性理論を使わなければ解決しない、という立場で書かれています。しかし、慣性系と加速度系の間の座標変換を使えば、加速度系から見た慣性系の時間を求めることが出来るので、特殊相対性理論の範疇で双子のパラドックスは解くことが出来ます。

なぜこのような不整合があるのかは分かりませんが、単に加速度系でのΔτは計量テンソルを使わないで表すことができない、と言いたかっただけだったか、あるいは、もっと深い思いがあって、例えば、その後に控える一般相対性理論への興味を引くための方便だったのかもしれません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

やはりメラーの教科書では特殊相対論の枠内で加速度系への座標変換を扱っていたのですね。
全体としてメラーがどっちのスタンスであるのか判断が難しそうに感じますが、メラーの教科書を入手し次第読んでみたいと思います。

お礼日時：2013/03/02 22:25

No.8 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/03/01 18:07

　#6です。

>>「特殊相対論では加速度系(非慣性系)は扱えない」と書いてある本はないはずです。
>内心そう思いながら質問してみましたが、あるようですね。
>一定の評判を聞く教科書にも書いてあるらしく驚いている所です。

　それは、特殊相対論では加速度系を共変形式で扱えない、という事ではないでしょうか？（たぶん#7さんの言った事）。もっとも「式を出してみぃ」と言われると、かなり困りますけど・・・(^^；)。

　そういう意味でなら言葉に嘘はないですけど、誤解の温床ですよね。一般座標変換のもとで加速度系まで共変形式で扱うと、この前の「運動方程式不要」の話につながり、最後には力学までどこかに逝ってしまう・・・。

　(1)一般でないと加速度系は（慣性力と重力を同一視する共変形式で）扱えない。

　(2)しかしニュートン力学と同じように共変形式にこだわらなければ、慣性系を基準として、特殊でも加速度系を扱える。慣性力は、当然出る。

　でも(2)はあまり注目されない。そこから、

　(3)特殊では、加速度系も加速度「運動」も扱えない。

となるんだろ～、と。しかも、

　(4)最後には、力学までいなくなる・・・。


　ある意味、仕方ない事なのかなぁ～(^^；)。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>　それは、特殊相対論では加速度系を共変形式で扱えない、という事ではないでしょうか？
「加速度系での式は共変形式にはならないだけで、扱う事はできる」
というスタンスであるのなら、「特殊相対論の範囲内では答えることができない問題である」という表現にはならないと思います。
これ以後の章と合わせて全体でどう言っているのかは判断できませんが、少なくともこの部分は「特殊相対論の範囲内で加速度系は扱えない」というつもりで書いているように思います。如何でしょうか。

お礼日時：2013/03/02 22:24

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/02/27 16:28

>Δτ=Δt√(g_00-v^2/c^2)

慣性系では成り立っていた式が加速度系では
成り立たなくなるという話と、加速度系を慣性系から
特殊相対論で導けるかという話は別です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

#5さんの要約を拝見する限り、単に「慣性系で導出した式が成り立たない」という理由で加速度系は扱えないと言っている訳ではないように思いました。

お礼日時：2013/03/02 22:22

No.6 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/02/26 20:13

　「特殊相対論では加速度系(非慣性系)は扱えない」と書いてある本はないはずです。

　そう書いてるのは、トンデモ本の類です。トンデモ本では鬼の首でも取ったかのように（わざとかもしれませんが）、「特殊相対論では等速直線運動しか扱えないのは明らか」だから、現行の物理学者は権威主義のバカばっかりだ、みたいな調子ですが、じつは相対論的力学とニュートン力学の構成は同じです。力学に対する認識不足としか言えません。ただ相対論的力学は、誤解を生みやすいものではあります。

　ローレンツ変換は、ニュートン力学のガリレイ変換の明らかな拡張（修正）で、相対論的力学はニュートン力学の明らかな拡張（修正）であり、そこでのローレンツ変換の立ち位置は、ニュートン力学でのガリレイ変換の役割と全く同じものです。

　なのでもしローレンツ変換を加速度運動に適用していけないなら、ニュートン力学において、ガリレイ変換を加速度運動に適用するのは御法度になります。そんな馬鹿な話はないですよね？（#4さんと同じ趣旨です）。

　つまり言いたいのは、特殊相対論（ローレンツ変換）だけでなく、相対論的「力学」も組にして考えないと、不要な誤解につながるという事です。ふつうは相対論的「力学」は含めないで「特殊相対論」と言うので、その辺が誤解の温床でしょう。

　もう一つは、確かにローレンツ変換の数学は、ちょっと出来る高校生の範囲で可能ですが（物理的意味付けの方が、遥かに大切ですけど）、相対論的運動方程式（相対論的力学）の定式化は、いきなり大学学部レベルまでジャンプします。恐らくこれも、誤解の誘因になってる気がします。

　以上の状況に止めを刺したのが、一般相対性理論に関するアインシュタインの次の言葉です。「運動方程式は不要だ」。

　この言葉は、次のような意味だと思われます。


　一般に純粋な力学理論、つまり運動方程式Ｆ＝ｍａの右辺は、力の起源も発生機構も問いません。役に立つ力学理論となるためには、運動方程式の左辺を説明する「力の理論」を、純粋な力学理論の外から与えてやる必要があります。ニュートン力学の場合、それが万有引力の法則です。

　ところで一般相対性理論は明らかに重力の理論なので、力の（場の）理論なのですが、等価原理を要請したために、質点の運動は場の方程式（力の理論）で記述できる事になります。

　これが「運動方程式は不要」の意味ですが（#4さんの真ん中辺り）、結果として一般相対性理論は、重力の（力の）理論であり、力学理論でもある事にもなります。

　さらにそれは、特殊相対性理論の明らかな拡張でもあるので、時空間の理論であり、物質密度と時空間の曲率テンソルとを結び付けるので、物質の理論かも知れず、宇宙論の基礎である事は言うまでもありません。


　このように一般相対性理論は、史上初めて出た、論理的に完結しえた魔法のような万物理論（T.O.E.）です。

　その実験的検証は、未だに半ばですが、この魔法のような万物理論のイリュージョンに捉われて、「特殊相対論では等速直線運動しか扱えないのは明らか」という幻想が出て来るのではないのかなぁ～、とは自分の印象です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。遅くなり申し訳ありません。

>「特殊相対論では加速度系(非慣性系)は扱えない」と書いてある本はないはずです。
内心そう思いながら質問してみましたが、あるようですね。
一定の評判を聞く教科書にも書いてあるらしく驚いている所です。

お礼日時：2013/03/01 12:14