加速度の積分

ふと思ったのですが

速度を積分すると
移動した距離(スタート地点からの位置)が
わかると思うのですが

加速度を積分すると
何の速度がわかるのですか？

ゴールとスタート地点での速度の差分なんでしょうか？
それだと、途中の経路(早くなったり、遅くなったり)は加味されない
もしくは、スタートとゴールがたまたま同じ加速度だったら
０になってしまう気がします

それともスタートからゴールまでの全ての速度を
足し合わせた物が出てくるのでしょうか？

ともかく、時間(時刻と時刻の間隔)と加速度の積が
どういうものか想像できません

よろしくお願いします

簡単のため、開始時間と開始場所を０としてます
あとすべてが正の値で起こるとしてください

No.4 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2013/09/02 12:37

>ともかく、時間(時刻と時刻の間隔)と加速度の積がどういうものか想像できません

加速度ａ(ｔ)の定義を、もう一度振り返ってみましょう。
時刻ｔ1のときの速度がｖ1，時刻ｔ2のときの速度がｖ2だったとすると
ｔ2－ｔ1の区間での、平均の加速度ａは
　ａ＝(ｖ2－ｖ1)/(ｔ2－ｔ1)
でした。ここで、ｔ2のとりかたを、ｔ1に近くなるように取り直すことを考えてみます。言い換えれば、ｔ2－ｔ1（この時間を、以下Δｔとします）を、ｔ2を変えることで、限りなく０に近い時間とする、いうことです。Δｔ→０
ｖ2も、これに伴って変わってきます。ｖ2－ｖ1をΔｖと書けば
　ａ＝lim[Δｔ→０]Δｖ/Δｔ
となります。この極限値を、時刻ｔ1における、瞬間の加速度ａ(ｔ1)と呼ぶのでした。
これを、改めて
　ａ＝(ｖ2－ｖ1)/(ｔ2－ｔ1)
に代入し直してみると
　ａ(ｔ1)＝(ｖ2－ｖ1)/Δｔ
∴　Δｖ＝ａ(ｔ1)・Δｔ　　　　式（１）
右辺が、「時間と加速度の積」ですから、それは、Δｖ、つまり速度の変化を表していることになります。
もうすこし具体的に言えば
　時刻ｔ1の直後の、ごく短い時間内に起こった速度の変化、"ｖ1になった瞬間から、その直後のΔｔの時間内に、速度がどのくらい変化したか"を表している、と解釈できます。

本題に戻ります。
　∫[ｔ1..ｔ2]ａ(ｔ)・dｔ
　[　]は、積分範囲の意味です。
積分の中身は
　ａ(ｔ)・dｔ
ここで、dｔは、極く短い時間を表していますから、式(1)のΔｔと、同じ意味です。
ということは、
　ａ(ｔ)・dｔ
は、時間dｔ内に起こった、速度の"変化" （どのくらい速度が変化したか）を表していることになります。
積分という操作は、これ（速度の変化量）を、足し合わせていく作業です。具体的にイメージしてみましょう。時刻ｔ1，ｔ1＋Δｔ，ｔ1＋２・Δｔ，ｔ1＋３・Δｔ，…　ｔ2－Δｔ
の各瞬間の速度の"変化量"（各瞬間以降のΔｔの短い時間内での変化量）は、それぞれ
　ａ(ｔ1)・Δｔ，ａ(ｔ1＋Δｔ)・Δｔ，ａ(ｔ1＋２・Δｔ)・Δｔ，ａ(ｔ1＋３・Δｔ)・Δｔ，…
ですから、積分は、これらをすべて、足し合わせたものということになります。
注意深く見てもらえばわかりますように、各区間での加速度は、異なっています。各瞬間瞬間での、加速度を使って、計算しているのです。こうして、積分結果は、ｔ1における速度ｖ1から、ｔ2－ｔ1の時間内に起こった、速度の変化量を、精確に表現していることになります。

簡単に言ってしまえば
>加速度を積分すると何の速度がわかるのですか？
と問われたら、速度がわかるのではなく
>ゴールとスタート地点での速度の"差分"
と答えることになります。
しかし、それは、"ｔ2での速度－ｔ1の速度"という、単純な意味ではありません。
>途中の経路(早くなったり、遅くなったり)は加味されない
のではなく、上記の通り、途中の変化の全てを、きちんと考慮した、極めて精確な差分を与えているのです。
当然、
>スタートとゴールがたまたま同じ加速度だったら０になってしまう気がします
ということについても、そうなることもあれば、０にはならないこともある、ということになります。


（おまけ）
>速度を積分すると移動した距離(スタート地点からの位置)がわかると思うのですが

これは、正しくは、
　速度を積分すると、移動した"変位"がわかる。
と言うべきです。
なお、移動した変位とは、スタート地点から、どの方向に、どれだけの距離だけ、"位置がずれたか"を表す量です。

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/09/02 12:34

高校物理ではv-tグラフ，a-tグラフの面積を求めることで速度から変位を，加速度から速度を求めるということをやったと思います。

積分というのは，この面積を求めるという作業の数学的な手続きなので，もう一度高校物理の教科書を引っ張り出して，意味を考え直してください。

vやaが定数や1次関数なら積分などしなくても面積は幾何学的な考察でに求められる。しかし，vやaが時間によってかわりめんどうな曲線になれば幾何学的に面積を求めることが難しいので積分を使う。という違いだけです。

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2013/09/02 11:52

> ゴールとスタート地点での速度の差分なんでしょうか？

そうだと思いますよ。その間、トータルでどれだけ加速されたかが出てくると思います。

> 途中の経路(早くなったり、遅くなったり)は加味されない（※1）
加味されます。

> スタートとゴールがたまたま同じ加速度だったら０になってしまう(※2)
なりません。

速度を積分した場合が納得出来て、加速度を積分した場合が納得出来ないというのがちょっと不思議です。加速度の積分が納得出来ないなら、速度を積分した場合でも※1や※2と同じ疑問が出てしまいませんか？

ご質問と関係ありませんが、このサイトでは見る人の環境に合わせて自動的に改行されます。意図的に改行を必要とするとき以外の改行は無い方が読みやすいと思いますよ。

No.1 回答者： uen_sap 回答日時： 2013/09/02 05:35

こういう質問には困ったもんだ！

速度は位置又は距離の微分ですから速度の積分は移動した距離になります。

加速度は速度の微分ですから加速度の積分は速度になります。
それ以外何がありますか？

積分の意味も分かってないようなので付言すると、
ある時刻t1からt2まで積分すると、
時刻t1からt2までの速度の増加分が正確な表現です。