大学数学の証明問題です。(図形は写真を添付します。)
ハムサンドイッチの定理や平均値の定理を使う問題ですが、わかる部分でいいので教えてください。
以下の図形D1、D2を同時に2等分する直線が存在することの証明を空欄を埋めて完成させよ。ただし定理及び準備定理の使用は明記すること。
証明
図形D1、D2ともに含む半径 r の円Oにおいて、円周上の任意の点をPとする。
Pからの弧長がxである点をXとし、直系XYを考える。
(空欄(1))定理よりXYに垂直でD1を2等分する弧C1とXYに垂直でD2を2等分する弧C2がそれぞれ存在する。
XからC1までの距離をd1(x)、XからC2までの距離をd2(x)とし、D(x)=d2(x)-d1(x)とおく。
さて関数(空欄(2))に(空欄(3))定理を適用する。
(大きい空欄(4)
)
このとき(空欄(5))=(空欄(6))であるから、C1=C2となってD1、D2両方の図形を同時に2等分する直線が存在する。
(Q.E.D.)
空欄(4)は長く難解ですので、他の部分だけでも教えてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1) 中間値
(2) D(x)
(3) 中間値
(5) d1(x0)
(6) d2(x0)
(4)は、方針としては、もし、あるx1で D(x1)>0 ならば(たとえば添付図のとき)、x1と直径の反対側の点をx2とすれば(XとYを逆にする)、 D(x2) = -D(x1) < 0 です。したがって、中間値の定理より、D(x0)=0 となるx0が存在
それにしても、そりゃまあ「受験数学」が暗記科目なことは確かだとは思いますけど、いくらなんでも、仮にも「数学」の問題で、定理の「名前」を答えさせるとは。。
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