No.3ベストアンサー
- 回答日時:
4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2
この値をkとおきます。上記よりk>=0です(二乗の形なので)。
(2x+y)^2=k
2x+y=±√k
y=-2x±√k
これは傾きがー2、y切片が±√kの直線です。これを直線mと呼びます。
kの値が変化すると、この直線mはxy平面上をいろいろ動くわけですが、
x^2+y^2=1(この式が表す円をCと呼びます)という条件より、この直線mは
Cと接するか、交わっていないといけません。
この条件を満たしながらy切片が最大(あるいは最小)になるのは、直線mが
円Cに接するときです。
No.5
- 回答日時:
>x^2+y^2=1を満たすとき4x^2+4xy+y^2の最小値と最大値を求めよ…
まともに拘束条件 x^2+y^2=1 を目的関数 4x^2+4xy+y^2 へ代入してしまう手でも…。
x^2+y^2=1 → y = √(1-x^2) : x∈[-1, +1]
を入れると、
4x^2+4xy+y^2
= 4x^2 + (1-x^2) + 4x√(1-x^2)
= 3x^2 + 1 + 4x√(1-x^2)
の最小/最大-点の探索が課題。
まず (x) 端点では?
3 + 1 = 4 (at x=±1)
その間の極値をあたえる x は?
{3x^2 + 1 + 4x√(1-x^2) }'
= 6x + 4(1-5x^2)/√(1-x^2) …(1)
右辺の零点は?
(1) を有理化して、
100x^4 + 100x^2 + 16
の零点を求めると、当然ながら 4 個ある。
有理化のせいで、いわゆる「無縁根」が2 個まぎれこむのでご注意!
(1) へ代入し、零にならぬ 2 個を排除。
残務は、(x) 端点が最小/最大か否かのチェック。
…といった調子です。
No.4
- 回答日時:
x=cos(t), y=sin(t)(0≦t≦2π)とおくと
x^2+y^2=1は常に満たされる。
A=4x^2+4xy+y^2
=4(cos(t))^2+4cos(t)sin(t)+(sin(t))^2
=2+2cos(2t)+2sin(2t)+(1/2)-(1/2)cos(2t)
=(5/2)+2sin(2t)+(3/2)cos(2t)
=(5/2)+√(4+(9/4))sin(2t+tan^-1(3/4))
=(5/2)+(5/2)sin(2t+tan^-1(3/4))
0≦t≦2πで
-1≦sin(2t+tan^-1(3/4))≦1
であるから
0≦A≦5
∴最小値は0, 最大値は5
ここで
最小値をとるときは sin(2t+tan^-1(3/4))=-1のとき
最大値をとるときは sin(2t+tan^-1(3/4))=1のとき
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