運動方程式

運動方程式（長文失礼します）


写真は教科書の図をノートに写したものです。

（下の図についての教科書の記述）
質量mの物体に軽くて伸びない糸をつけて、鉛直上向きに引く。このとき、鉛直上向きを正として、意図が物体を引く力をTとし、物体に生じる加速度の大きさをaとすると、物体の運動方程式はma=T-mg。
（上の図についての教科書の記述）
滑らかな水平面上に、軽くて伸びない糸Cで繋がれた物体A,Bがある。Aを水平方向右向きに大きさFの力で引くと、A,Bは糸で繋がれたまま、ともに右向きに動く。この時、糸C がBを引く力の大きさをTとすると、糸C は同じ大きさT の力で、Aを左向きに引いている。A,Bの質量をそれぞれM,mとし、右向きを正として、加速度をaとすると、それぞれの運動方程式はA;Ma=F-T,B;ma=T、A,Bを一体と考えたときの運動方程式は、（M+m)a=F
（疑問）
(1)下の図の事象についてはｍｇを運動方程式に入れ、上の図の事象については、入れていないのはなぜでしょうか？
(2)図にa（加速度の方向）が書かれていますが、これはどうやって判断して記入しているのでしょうか？
まさか、「こうなりそう」で書いているわけではないでしょうから
(3)上の図の教科書の記述
A,Bを一体と考えたときの運動方程式は、（M+m)a=F
これはどのように考えて、立式しているのでしょうか?
(4)両方の問題で軽くて伸びない糸と書かれていますが、これは質量を考えない事以外に何か問題に関係してきますか?
どうか宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2014/02/28 16:46

(1)上図ではmgは机からの垂直抗力と釣り合っており，鉛直方向の運動は生じていないので，鉛直方向の力も考えていない。

摩擦があったりすると動摩擦が垂直抗力に比例するので，鉛直方向のつりあいの関係も扱う必要が出てくる。

(2)一般論としては便宜上正の方向を決めているだけ。逆向きの加速度の運動ならaが負の値として得られる。

ただし，質問されている教科書の場合は上図では右向きに加速する，下図では上向きに加速するという状況が問題を解くうえでの条件として設定されているのでは？

一般的な話としては，上図は糸を使っているので右向きに加速する以外はありませんが(そうでないと糸がたるむ)，下図の場合は上向きの力しだいで下向きに加速することもありえます。

(3)二つの運動方程式を足しているだけ。ただし，正直な話，剛体の運動が扱えない高校物理では，ここの所はちょっと説明が難しい気はしている。多分，深入りはしないほうがいい。

(4)当然のことながら，糸が延びないことで，糸がぴんと張った状態ではAB間の距離が常に等しくなることが一番重要です。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/03/01 12:37

上の図は糸にわずかでも弾性があれば

右に引っ張るだけでも簡単に糸がたるませることができるので
かなり問題に無理があります。
糸が張っている時でBがAより遅い時は、AとBの速度が瞬時に
同じになるように無限大の力で無限小の時間ひっぱるというような
不思議な糸を想定するしかないですね。

滑車のロープなどのように、重カを支えるために常にある程度の張力
が必要なケースではそれほど無理のない仮定ですが、水平でまさつなし
の状況は非常に脆い設定なので、ちょっと無神経な出題だと思ぃいます。


下の図は最初から張力ありきなので、こうしたことを考えずにすみます。

No.3 回答者： teppou 回答日時： 2014/02/28 19:18

　丁寧な回答が出ていますが、(2)について付け加えさせてください。

　加速度というのは、方向も含めた速度の変化率です。
　力の方向が変わらなければ、力の方向と速度の方向と加速度の方向は、一致します。

　円運動の場合は、加速度は中心に向かいます。

No.1 回答者： ybnormal 回答日時： 2014/02/28 15:17

1）この場合の運動方程式は水平方向の力と加速度に関して立てているので、垂直方向に働く重力は考慮されない。

直行するベクトルはお互いに影響をしあわないため。
2）F=MaのFとaはベクトルで、質量Mは正の数になる。したがって、Fの向きが決まればaの向きは自然に決まる。
3）厳密に解くのであれば、AとBの間にある糸の張力をTした場合、
T=ma
F-T=Ma
Tを打ち消せば、（M+m)a=Fとなる。
一般的には二つの物体が一緒に運動をする場合、一体のものとして考えて差し支えないが、それが気になるなら、上のように運動方程式をそれぞれの物体について立てればよい。
4）もし糸が伸びれば、糸がMとmに及ぼす力は、糸の伸び具合によってかわる。最終的に糸が伸びた状態で安定すれば、（M+ｍ）a=Fとしてもいいが、その状態になるまでの糸の張力は時間とともに変化することになり、これは加速度は変化することを意味する。等加速度運動を扱うのであれば、これはよろしくない。