No.2ベストアンサー
- 回答日時:
微分の基本ってyがxの関数y(x)だとして、lim[h→0]{(y(x+h)-(x)/h)=dy/dxってことでしたね。
そういう定義から考えることもできますが、このご質問でははやめておきます。。もっと素朴な考え方では、yがxの変化Δxに対して(Δ:デルタは変化を示す記号としてよく用いられる)、Δyだけ変化するとき、その変化率をΔy/Δxで表すとします。例えばΔx=1秒で、位置の変化Δyが10mなら、Δy/Δx=10m/s、秒速10メートルということです。
さらに、Δxが限りなく0に近づくとしてdxと書き、そのdxに対応するΔyをdyとすると、dy/dxです。現代の数学としては、大雑把過ぎて駄目なんですが、物理なんかではよく使います。近似式にしたときに「2次の微小量を落とす」なんてこともします。
数学として駄目な理由は、それが無限小という曖昧な定義に基づくもので、既にそれでは破たんする場合があることが分かっているからです(どんなとき破綻するか忘れましたが^^;)。そのため数学では、「δ-ε(デルタ・イプシロン)論法」という厳密な方法に基づいた考え方をします。
ただ、初等的なものでは破たんしないのです。破たんしないから、昔の数学では使っていたわけです。物理なんか、数学のごく一部を借用しているだけです。無限小でやっても、破たんなんかしません。
この場合も無限小でいいでしょうね。dy/dyという分数ということです。Δy/Δxという分数で分子分母を極限まで小さくしただけですから。それでちゃんと、例えば曲線の接線の傾きとかになります。
分数なんだから、dy/dx=f(x)であれば、dy=f(x)dxとして、∫dy=∫f(x)dxとでき、y=∫f(x)dxです。それで何の問題もありません。
>dy/(1/2)dx = xとしても正しいですよね?
上記のような考え方で、破たんしない範囲で使うなら、それでいいです。逆に言えば、破たんする可能性があり、破たんしないように使うのはそうする人の義務となります。それで間違った結果を得たら、そうした人の責任です。
定理とか求めるのは無理でしょう。数学としては(数学は必ず最も正しいものを求めることに留意)認めてくれないでしょう。間違いなくできる方法は、数学としては既に別のもを提示してあるわけです。
例えば、dy/dxと書きはするけど、d/dx(y)と書くこともあり、d/dxはある種の演算子だったりしますからね。分数と同じ、なんて大雑把なことは数学は認めてくれません。結果的にそうできることもある、というだけのことです。さらに例えば、2階微分になり、d^2y/dx^2となると、もう分数にしようがありません。一方、演算子と考えるなら、d^2/dx^2(y)であり、何階微分であっても一貫しています。
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