素数 反例

素数が無限であることの証明について。

http://homepage2.nifty.com/mathfin/hairihou/hair …
素数が無限個でないことがある。すなわち，素数が有限個であることがあると仮定し、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （反例の存在を仮定）　

その個数をｎ個とする。すべての素数を小さい方から順に　

　　　　　　　　P1，P2，P3 ，・・・・・・，Pn　　

　　　とおける。ここで，
　
　　　　　　　　P = P1×P2×P3×・・・・・・×Pn + 1
　　　により，自然数Pをつくると，

　　　Pは， P1，P2，P3 ，・・・・・・，Pn のいずれで割っても１余る。
　
　　　よって，Pは１と自分自身以外に約数を持たないから素数である。

　　　これはPnよりも大きい素数が存在することを意味しており，矛盾が生ずる。
　　　よって，素数が有限個であることはない（反例は存在しない）　

　　 ゆえに，素数は無限に存在する

---------------------------------------------
P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例がありますが、
上記の証明は間違いということですか？

No.1 回答者： FEX2053 回答日時： 2014/07/30 21:31

>Pは１と自分自身以外に約数を持たないから素数である。

ここがまちがい。

１．Ｐが素数ならば、これは初めの素数以外なので矛盾
２．Pが合成数なら、初めの素数以外になるので矛盾

これが正しい解です。

No.2 回答者： FEX2053 回答日時： 2014/07/30 21:32

ごめんなさい一部訂正

１．Ｐが素数ならば、これは初めの素数以外なので矛盾
２．Pが合成数なら、初めの素数以外の積になるので矛盾

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/07/30 22:55

No.3 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/07/30 21:49

>P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例がありますが、

>上記の証明は間違いということですか？
反例になっていません。現在何個の素数が見つかっているか知りませんが、相当多くの素数がみつかっています。で証明は「何個あるかは現在分かってないけれど、有限とすると2,3,5,・・・,Pnと並べて・・・」と言っているのです。つまり有限個としたらその【有限個の全ての素数の積+1】も素数になってしまうじゃん。といっているのです。上記の反例は【全ての素数の積+1】になっていないでしょう？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例
のように、
【全ての素数の積+1】が素数でない可能性もあると思いますが。

お礼日時：2014/07/30 22:57

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/30 22:12

>P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例がありますが、

>上記の証明は間違いということですか？

17も素数だよね、といわれてしまうと反例が粉砕されてしまいます。

要は、素数の積+1 は素数という推論は、それを証明しない限り使えないということです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

結局、URLは証明としてはダメということなのでしょうか？

お礼日時：2014/07/30 22:58

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/07/30 22:48

>Pは， P1，P2，P3 ，・・・・・・，Pn のいずれで割っても１余る。

>よって，Pは１と自分自身以外に約数を持たないから素数である。
　　　　　↓
P が 1 および P 自身以外に約数を持つとすれば、それは max{Pn} を超える素数である。

…って、どこかに書いたことの繰り返しだよネ。

　　

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞max{Pn} を超える素数
がよく理解できておりません。

お礼日時：2014/07/30 22:58

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/30 23:35

Pn+1～√(P)で割り切れないことを証明していないので

駄目です。素数であることの基本です。

No.7 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/07/30 23:51

>【全ての素数の積+1】が素数でない可能性もあると思いますが。

ないのだよ。なぜなら【全ての素数の積+1】は全ての素数で割りきれないだろ。必ずあまりが１となる。だから【全ての素数の積+1】は素数になるしかないのだよ。そうすると、今まで考えてた全ての素数より大きい素数があるという矛盾に陥る。これは有限だと仮定したからなのよ。だから無数にあることになる。
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 が素数とは限らないのは、全ての素数で割りきれないとは言えないからだよ。実際59という素数では割りきれるだろ。

この回答へのお礼

追記のご回答ありがとうございます。

>【全ての素数の積+1】は全ての素数で割りきれないだろ。
これは理解できましたが、
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 が素数とは限らない、があるように、

【全ての素数の積+1】が素数以外の数で割れる可能性もあると思うのですが。
（この辺の知識・理解が不足しています）

お礼日時：2014/07/31 21:59

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/07/30 23:59

うん, その証明は間違い.

No.9 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/07/31 08:38

< ANo.5 へ。

>>max{Pn} を超える素数
>がよく理解できておりません。

　　　　　↓

max{Pn} は、P1，P2，P3 ，・・・・・・，Pn
>　すべての素数を小さい方から順に　P1，P2，P3 ，・・・・・・，Pn　とおける。
でいえば、最大の Pn を指す。

つまり、
　P が 1 および P 自身以外に約数を持つとすれば、それは Pn を超える素数である。
と書いたわけですが、正しくは、QNo.8698323 の ANo.2 に記したように、
　「P は素数、または max {pk} を超える素数の (合成？) 積」
なんでしょうネ。

　　

No.10 回答者： he-goshite- 回答日時： 2014/07/31 12:15

話が混乱しているようなので，整理します。

1)素数が無限個存在する　ということの証明として，
http://homepage2.nifty.com/mathfin/hairihou/hair …
に書かれていることは正しいです。

2)反例として示されている式は，反例になっていません。
２×７＋１＝３×５　
が反例になりますか？

3)「上記の証明」は間違いではありません。
　「反例」と称する式が，まったく反例になっていないのです。

この回答へのお礼

当該URLで、----------------------------------------

P = P1×P2×P3×・・・・・・×Pn + 1
　　　により，自然数Pをつくると，

　　　Pは， P1，P2，P3 ，・・・・・・，Pn のいずれで割っても１余る。
　
　　　よって，Pは１と自分自身以外に約数を持たないから素数である。

------------------
とありますが、
P＝2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1
の場合は、Pは素数ではないとおもいますが。

お礼日時：2014/07/31 22:02