両端固定はりのせん断力と曲げモーメント

図のような固定はりのせん断力、曲げモーメントを求め、たわみ角、たわみ、SFD、BMDを求めたいです。
重ね合わせ法で解こうと思いましたが、荷重がどちらか片方だけ作用している時のせん断力、曲げモーメントをどのように考えるのかわかりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2014/08/25 19:30

　C点またはD点の荷重効果を別々に計算して足せば良い、とわかっているなら、次のURLで答えは出ます(^^)。

　　http://www.geocities.jp/iamvocu/Technology/kousi …

　以下は、どうしてもという事であれば、という内容です(^^；)。


　構造力学の一般的手順では、最初に全体系の力の釣り合いから反力を求め、後は反力から部材力をたどって行って、SFDやBMDを計算します。しかし両端固定梁の場合、力の釣り合いだけからは反力を全部求めきれない。問題図で水平力が無いのは明らかですが固定端なので、左右でそれぞれモーメント反力と鉛直反力が現れ、全部で4個になる。ところが力の釣り合い方程式は、水平力が片付いているので実質2本しかない。未知数が2個余る。こんな状況だと思います。

　余り2個の反力を計算する代表的な方法は、4つあります。
　　1)曲げを受ける梁の微分方程式
　　2)カスティアノの定理
　　3)仮想働の原理
　　4)たわみ角法

　4)は応用性に乏しいので、ここでは省略します。それでまず1)です。


1))曲げを受ける梁の微分方程式
　曲げを受ける梁の微分方程式は、

　　EI・(d^4w/dx^4)＝q(x)　　　　(1)

です。xはたいてい梁の左端を0にしたりします。Eはヤング率，Iは断面2次モーメントです。q(x)は横方向の分布中間荷重です。ここでは問題図のC点の荷重についてのみ考えます。そうするとAC間，CB間には中間荷重がないので（q(x)＝0）、(1)からそれぞれ、

　　w1(x)＝A1・x^3＋B1・x^2＋C1・x＋D1
　　w2(x)＝A2・x^3＋B2・x^2＋C2・x＋D2

が得られます。w1はAC間の梁の鉛直方向の変位曲線，w2はCB間の変位曲線を表し、A1，B1，C1，D1とA2，B2，C2，D2は、それぞれに対する積分定数で未知です（つまりこれら8個が未知数です）。

　たわみ角はdw/dxで、BMDはEI・d^2w/dx^2で、SFDは－EI・d^3w/dx^3では求められるので、8個が未知数に対する条件は、

　　左端固定条件
　　　w1(0)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：Aで変位0
　　　dw1/dx(0)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　：Aでたわみ角0

　　C点での接続条件
　　　w1(L/3)＝w2(0)　　　　　　　　　　　　　　　　　：Cで変位連続
　　　dw1/dx(L/3)＝dw1/dx(0)　　　　　　　　　　　：Cでたわみ角連続
　　　d^2w1/dx(L/3)＝d^2w2/dx(0)　　　　　　 　　：Cで曲げモーメント連続
　　　－d^3w1/dx(L/3)－W＝－d^3w2/dx(0)　 　：Cでのせん断力の釣り合い

　　右端固定条件
　　　w2(2L/3)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：Bで変位0
　　　dw2/dx(2L/3)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　：Bでたわみ角0

と8個になり、頑張って解けば、A1，B1，C1，D1とA2，B2，C2，D2は全部求まります。求まれば、BMDはEI・d^2w/dx^2で，SFDは－EI・d^3w/dx^3で、・・・です(^^；)。


　次に2)は後にして3)仮想働の原理ですが、この辺で力突きました。

　明日また回答するかも知れませんが、1)～4)のいずれを使おうと、計算は大変です。最初のURLをお奨めします(^^;)。

この回答への補足

ありがとうございます。
素直に計算しました。

Wのみが作用していると考え
曲げモーメント分布はAC間、CB間で
両端にモーメントM1、M2を考えると
Mac(x)=-M1+R1x
Mcb(x)=-M1+R1x-w(x-L/3)
から
M1、R1を求め
曲げモーメントの分布は
Mac(x)=-4/27*Lw+20/27*wx
Mcb(x)=-4/27*Lw+20/27*wx-w(x-L/3)
から
AC間のたわみ角とたわみ
CB間のたわみ角とたわみを求めました。

同様に、2Wのみが作用していると考え
AD間、DB間のたわみ角とたわみを求めました。

計算結果を見て思ったのですが、荷重によって間隔が異なっています。
この結果から、ひとつのたわみ角とたわみを求めるにはどのようにすればよいのでしょうか。

補足日時：2014/08/28 23:41

この回答へのお礼

少々勘違いをしていました。解いた内容で必要な解は求まっていました。
項数が多くなり混乱していました。
回答頂きありがとうございました。

お礼日時：2014/08/30 00:37