マンガでよめる痔のこと・薬のこと

傾いた平面上で、もっとも急な方向の勾配(傾き)が1/3であるという、今南北方向の勾配を図ったところ

1/5であった、東西方向の勾配はどれだけか

解説は斜面上の1点を原点Oとする図のような座標空間を設定し、東西方向の勾配を1/aとおき(a>0)
斜面がA(a,0,0),B(0,5,1)を通るとする すると 斜面の方程式はx/a+y/5-z=0(1) ここで最も急な

方向の勾配が1/3だから、斜面上をOから出発して移動する際、水平方向に3だけ進んだときの鉛直方
向の移動距離の最大値は1である つまり(1)にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるθ(0<=θ<2π)

の関数z=3/a×cosθ+3/5×sinθ=(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ)の最大値√{(3/a)^2+(3/5)^2}が1に等しい よって(3/a)^2=1-(3/5)^2=(4/5)^2よって1/a=4/15 よって求める勾配1/aは4/15である

とあるのですが、まず、この図の意味が分からないです東西方向の勾配が1/aだったら何でこの図のような位置になるんですか?A,Bの座標も何でこんな値になるのか分からないです

この図の説明を詳しくお願いします、斜面の方程式も何でこういう風になるのか分からないのでお願いします、移動距離の最大値は1である つまり(1)にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるθ(0<=θ<2π)

の関数z=3/a×cosθ+3/5×sinθ=(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ)の最大値√{(3/a)^2+(3/5)^2}が1に等しい ここも何を言っているのかさっぱりなので詳しく宜しくお願いします

「高校数学の勾配に関する問題です 3-17」の質問画像

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (9件)

(1983年・東大・文科各類)


現課程および旧課程では「空間における平面の方程式」を扱わなくなりました。添付画像の解法はその当時の教育課程に沿ったものでしょう。

空間座標を使わない解答です。
(図1)
長方形ABFEが地面、長方形CFEDが斜面。OQが最も急な勾配、ODが東西方向の勾配、OCが南北方向の勾配。
C,Q,Dの真下の点がそれぞれB,P,A。
斜面の高さ(DA=QP=CB)を1とすると、題意よりOB=5,OP=3。
(図2)
地面の断面図。OB=5,OP=3よりBP=4。
△BPO∽△OPAなのでBP:BO=OP:OA よってOA=15/4
よって求める勾配は「4/15」…(答)
「高校数学の勾配に関する問題です 3-17」の回答画像6

この回答への補足

この図を見てODが東西方向の勾配、OCが南北方向の勾配は何で分けられるんですか?最も急な勾配と東西方向の勾配やOCが南北方向の勾配と一致することは考えないのですか?

補足日時:2014/09/09 00:50
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/09 00:50

>何でですか?じゃあ東西方向の勾配が最大になることは無いという事ですね?



北方向の勾配が 1/5 である限りそうです。最大勾配の向きを東にすれば
北方向の勾配は 0 になります。

机の上に下敷きとか置いて考えては? どの方向が最大勾配の向きかは
見ればわかります。それに対して垂直方向はどうなるかも見ればわかります。

百聞は一見にしかず。

この回答への補足

分かりました、有難うございました

補足日時:2014/09/12 03:05
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/12 03:06

>勾配が1/3だから斜面を3進んで1上がるのは分かるんですが、


>水平方向というのはどういうことですか?斜面は水平ではないですよね?

原文はわかりませんが、東方向や北方向の勾配の考え方は図にしっかり示されて
いますよね? そこから逸脱してはだめですよ。

1次関数の傾きの定義と考え方は同じです。

この回答への補足

はい、斜面を上っていく感じですね、正面から斜面を上っていくのが最大勾配の方角に進むって事ですよね?

補足日時:2014/09/10 12:35
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/10 12:35

No.6の者です。


>この図を見てODが東西方向の勾配、OCが南北方向の勾配は何で分けられるんですか?
>最も急な勾配と東西方向の勾配やOCが南北方向の勾配と一致することは考えないのですか?

もし「最も急な購買」が東西方向なら、南北方向の勾配はゼロになりますね。

この回答への補足

>南北方向の勾配はゼロになります
何でですか?じゃあ東西方向の勾配が最大になることは無いという事ですね?、理由のほうをお願いします、まだ問題の意味があまりよく分からないんです

補足日時:2014/09/09 02:00
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/09 02:00

>>=|X1|・|X2|cosα


>ここまでは分かりましたが、ここから何でcosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になるの答えに>なっているのですか?

|X1|と|X2|は一定なので cosα=1 となる (cosθ, sinθ) を探せばよいのです。

α=0 だから同方向のベクトルです。cosθ : sinθ = 1/a : 1/5 で
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 =1 ならどうなるかちょっと考えればわかります。

>>|(cosθ, sinθ)|=1 なので
>これはどこから分かったのですか?

常識です。三角関数の公式を調べましょう。最初の方に出てきます。
三角関数の定義とピタゴラスの定理からも明らか。

この回答への補足

有難うございます、三角関数は確認しました

斜面がA(a,0,0),B(0,5,1)を通るとする すると 斜面の方程式はx/a+y/5-z=0(1)とありますが、この斜面の方程式ってどうやって出してるんですか?そして、

この斜面の式が出た時に勾配が1/3だから、斜面上をOから出発して移動する際、水平方向に3だけ進んだときの鉛直方向の移動距離の最大値は1である つまり(1)にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるθ(0<=θ<2π)
とありまうが、勾配が1/3だから斜面を3進んで1上がるのは分かるんですが、水平方向というのはどういうことですか?斜面は水平ではないですよね?

にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるもこの値はどこから出てきたのですか?このxとかyは何を表すんですか?

補足日時:2014/09/09 00:46
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/09 00:46

>X1・X2 = (x1, y1)・(x2, y2) = x1・x2 + y1・y2


>= √(x1^2, y1^2)√(x2^2, y2^2)cosα (αはベクトル同士がなす角度)
>=|X1|・|X2|cosα

あれれ間違ってます。すいません。スマホで書いてるので・・・

X1・X2 = (x1, y1)・(x2, y2) = x1・x2 + y1・y2
= √(x1^2 + y1^2)√(x2^2 + y2^2)cosα (αはベクトル同士がなす角度)
=|X1|・|X2|cosα

この式は私の世代では高1 くらいだったと思います。2次元版は証明が簡単なので
いっぺんやってみるべきです。

この回答への補足

その式は分かりますが、最大値とどう関係しているのですか?

補足日時:2014/09/08 19:35
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/08 19:35

>>平面の方程式ですが、原点を通る平面なので1)  z = ex + fy


>これなんですが、平面の方程式って何でこういう風に置けるんですか?

最も一般的な 平面の方程式は

ax + by + cz + d = 0

a、b、c は平面と直交する 法線ベクトル、d は平面と原点との距離を
決めるもので、話せば長くなります。調べてみてください。
まずこの形式を暗記ですね。


勾配というのは、ある方向に進んだ時の高さが変化する割合。
坂のきつさを表します。直線のxy平面に対する傾きと同じ。
10m 進んで 1m 持ち上がれば 平均 +0.1 です。


>(cosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になる

X1 =(x1, y1), X2 =(x2, y2) とすると

X1・X2 = (x1, y1)・(x2, y2) = x1・x2 + y1・y2
= √(x1^2, y1^2)√(x2^2, y2^2)cosα (αはベクトル同士がなす角度)
=|X1|・|X2|cosα

ベクトルの基本公式の一つなので覚えておきましょう。

|(cosθ, sinθ)|=1 なので cosαが 1 になる角度を求めればよいです。

この回答への補足

>=|X1|・|X2|cosα
ここまでは分かりましたが、ここから何でcosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になるの答えになっているのですか?

>|(cosθ, sinθ)|=1 なので
これはどこから分かったのですか?

補足日時:2014/09/08 19:35
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/08 19:35

幾つか補足を



まず、原点と通る平面の方程式は一般に

ax+by+cz=0 という陰関数表現になりますが
cキ0 なら かきなおして

Z=ex+fy

という陽関数表現が扱いやすいです。

図に関しては、図に不明瞭なところがないので
何故読めないのか不明です。具体的にどうよめないか
言ってもらわないと説明のやりようがないですね。

(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ) の最大値の件は
ベクトルの内積の性質を知っていれば瞬時に求まります。

2っの直交するベクトルの和の正射影 とみても同じ結論が
簡単に得られます。

いずれにしても、問題集と学力が全然合ってないです。

まさか問題集全問を質問したりしないですよね?

ここがあなたの質問で埋まってしまいます。
#すでにそうなりつつありますが・・・

この回答への補足

>Z=ex+fyという陽関数表現が扱いやすいです
この式とax+by+cz=0 この式は同じなのですか、ax+by+cz=0 は良く見ますがZ=ex+fyは良く分かりません

>(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ) の最大値の件は
ベクトルの内積の性質を知っていれば瞬時に求まります。

内積は知っていますが、詳しくお願いしても無理ですか?

>2っの直交するベクトルの和の正射影
こちらの方は分からないので、詳しくお願いします

補足日時:2014/09/08 19:32
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/08 19:32

まず、Aの座標が間違ってますね。

A=(a, 0, 1) のはず。

原点から東方向(x方向)で 勾配が 1/a ですから、原点からx方向に a 進み
1 上がったところが A(Z=1になる)。

従って A の座標は (a, 0, 1)

原点から 北方向(y方向)で勾配が 1/5 ですから、原点からy方向に 5 進み
1 上がったところがB(z=1になる)。

従って B の座標は (0, 5, 1)

で、平面の方程式ですが、原点を通る平面なので

1)  z = ex + fy

がやりやすいでしょう。e は xz 平面で平面切った時の交差直線の勾配。
f は yz平面で切った時の勾配です。

なので

2) z = (1/a)x + (1/5)y

A, B, O の座標を入れて確かめてみてください。

xy平面上で、x軸から y軸方向への角度を θとすると、
原点からXY平面上をθ方向へ3進んだ位置は

3) (x, y) = (3cosθ, 3sinθ)

この地点で z の値を 3 で割ったのが、傾きだが、z は 2)式に 3) を代入すれば
計算できるので

4) 勾配 = z/3 = (1/a)cosθ + (1/5)sinθ

これの最大値が 1/3 になればよい。

4)式はベクトル (1/a, 1/5) と (cosθ, sinθ) との内積だから
#他にも見方はいろいろあるが、今回はこの見方を採用

(cosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になる。
つまり

(cosθ, sinθ) = (1/a, 1/5)/√((1/a)^2 + (1/5)^2)
の時最大になるので、z/3 の最大値は

5) √((1/a)^2 + (1/5)^2)

5)式 = 1/3 とすると

(1/a)^2 + (1/5)^2 = 1/9 ⇒ (1/a)^2 => 16/225 ⇒ 1/a = 4/15 ⇒ a = 15/4

この回答への補足

>A=(a, 0, 1) のはず。
すいません、確かにそうです、間違えました

>平面の方程式ですが、原点を通る平面なので1)  z = ex + fy
これなんですが、平面の方程式って何でこういう風に置けるんですか?

>e は xz 平面で平面切った時の交差直線の勾配。f は yz平面で>切った時の勾配です。
これも勾配というのは傾きの事ですか?

>この地点で z の値を 3 で割ったのが、傾きだが、z は 2)式
>に 3) を代入すれば
これで何で傾きが出るんですか?θとか何のために使っているのですか?そして

>(cosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になる。
これも何で同方向だと最大になるのですか?そして最大値は

√((1/a)^2 + (1/5)^2)となるのも分かりません

補足日時:2014/09/08 07:34
    • good
    • 0
この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/08 07:34

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q高校数学の勾配に関する問題の別解について 3-17

傾いた平面上で、もっとも急な方向の勾配(傾き)が1/3であるという、今南北方向の勾配を図ったところ

1/5であった、東西方向の勾配はどれだけか

別解の解説は東西方向の勾配を1/aとし斜面上の点Oから水平面上で東にa、北に5進んだ点をそれぞれA,Bとすると図のように水平面上の長方形CDEFをとることができる このとき、OC=4で△OAD∽△BOCであるから、a:3=5:4でa=15/4 よって求める勾配は4/15である

とあるのですが、まず図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが、これを例えば東方向をCDと一致させたりしたらまずいのですか?

何か理由があってこのような図になっていると思うのですが、それが分かりません、

それと△OAD∽△BOCとあるのですが、∠C=∠D=90°までは分かりますが、後の角はどうやって等しいと分かるのですか、お願いします

Aベストアンサー

1. この部分つまり、「直線PP'の勾配は大きくなる」は間違いです。
 「直線OP'の勾配です」。 まことに勝手ながら、気づくだろうと勘ぐっていました。
 気づかないと、OH=3であることに納得しないと思います。
 Oと直線BAとの距離が最短距離になるのは、OHとBAが90°になるときだ、と話が続いているのです。

 これはH以外のBA上の点だとOとの距離が3より大きくなってしまって傾いている平面OEF
の勾配は1/3より小さくなるという確信を持てるかです。← 証明できますよ。

2.No.8の解答をよく読んでください。⊿BOHと⊿AOHが相似であることをいうのに、2つの直角三角形
 ⊿AOBと⊿HOBに注目して∠BOH=∠OAHであることを言っているのです。←ここがわからないので
  しょう。
 
 この2つの直角三角形⊿AOBと⊿HOBについて、三角形の内角の和が180°になることを使えば,
 ∠BOH=∠OAHであることがわかります。(∠ABOが共通ですからね。)

  さて、⊿BOHと⊿AOHが相似であることをいうのが目的ですから、⊿BOHと⊿AOHが直角三角形であることを付け加えれば、、⊿BOHと⊿AOHは相似ですよ。←何をよりどころにして、この主張をしているのでしょうか。

 このことからOB:BH=AO:OHが言えるのでaがわかりますから東西方向の勾配がわかります。

   以上

 PS.
  話変わって、本題に行きます。

 なぜあなたに、NO8.を送ったかというと、貴方の、初めの、質問に、
  貴方が"なるほどとガッテン"と悟ることを期待したのでした。
  私が言うと何にもなりません。
  どうも・・・言わなければならなくなりました。
   No8.の図を見てください。ここで直角三角形OHGを線分ABに沿ってそのまま点Aまで
  平行移動してください。GはEと重なります。
 平行移動して頂点Oが移った点をDとし、同じ平行移動をHがBに重なるまで移動して、移動した
 頂点Oの点をCとします。移動完了しましたから、⊿OHGを消滅させてください。
  どうですか、長方形CDEFだけが見えるはずです。これが、別解の図です。
  だから、ずれているのは自然です。しかもこの平面の最大勾配は1/3で、条件に当てはまります。
 なお別解は、aを求めるため、相似三角形を見つけようとしているのです。どうやら、⊿ODAと⊿OCBが相似のようだと、その証明作業に取り組む流れですよね。
 相似であることは、∠BOC=α、∠AOD=βとおいて、たとえば∠CBOがβになることを言えばいいんじゃないでしょうか。(三角形の内角の和が180°であることを使います。)


 以下はつまらないザワ事ですから、理解してからよんでください。

 数学はゲームですから想像力と作戦が頭を巡り、しかもルールの範囲内で自由に動き回れます。

 あなたの配信した質問の画像を見てください。
  ⊿OCBと⊿ODAをそれぞれ 辺OBとOAを軸にして線対称に移してみてください。
 あれ、私が送った、画像になっちった。ホント?
  これで振出しに戻るから、またゲーム開始でしょうか← 悪い洒落です。気にしないでください。

 

1. この部分つまり、「直線PP'の勾配は大きくなる」は間違いです。
 「直線OP'の勾配です」。 まことに勝手ながら、気づくだろうと勘ぐっていました。
 気づかないと、OH=3であることに納得しないと思います。
 Oと直線BAとの距離が最短距離になるのは、OHとBAが90°になるときだ、と話が続いているのです。

 これはH以外のBA上の点だとOとの距離が3より大きくなってしまって傾いている平面OEF
の勾配は1/3より小さくなるという確信を持てるかです。← 証明できますよ。

2.No.8の解答をよく読んでください...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報