フーリエ変換について

フーリエ変換について
次の信号（三角波）をフーリエ変換したいのですが、
ｆ（ｔ）＝-ｔ+2，0≦ｔ≦2
　　　　　ｔ+2，-2≦ｔ<0
解答では、
Ｆ（ω）＝2∫（0⇢2）（-ｔ+2）ｃｏｓωｔｄｔを計算することとなっていました。
フーリエ変換の定義式では
Ｆ（ω）＝2∫（0⇢2）（-ｔ+2）ｅ＾（-ｊωｔ）ｄｔとなっているため、何故上記の式となったのかが分かりません。
途中式を書いていただけると幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/11/05 16:20

>フーリエ変換の定義式では

>Ｆ（ω）＝2∫（0⇢2）（-ｔ+2）ｅ^(-jωt) dt となっているため、
これは定義式ではありません。
定義式は
　F(ω)=∫ (-2→2）f(t)ｅ^(-jωt) dt
です。

＞何故上記の式となったのかがわかりません。
定義式を書き換えると
　F(ω)=∫ (-2→0）(t+2)ｅ^(-jωt) dt+∫ (0→2）(-t+2)ｅ^(-jωt) dt
第一項の積分変数をt→-tと置き換えると
　F(ω)=∫ (2→0）(-t+2)ｅ^(jωt) (-1)dt+∫ (0→2）(-t+2)ｅ^(-jωt) dt
　　=∫ (0→2）(-t+2)ｅ^(jωt) dt+∫ (0→2）(-t+2)ｅ^(-jωt) dt
　　=∫ (0→2）(-t+2){ｅ^(jωt)+ｅ^(-jωt)} dt
　　=∫ (0→2）(-t+2){cos(ωt)+i sin(ωt)+cos(ωt)-i sin(ωt)} dt
　　=∫ (0→2）(-t+2){2cos(ωt)} dt
　　=2∫ (0→2）(-t+2) cos(ωt) dt
となります。この結果は解答の
>解答では、
> Ｆ(ω)＝2∫ (0⇢2)（-ｔ+2）cos(ωt) dt を計算することとなっていました。
と一致するでしょう。

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2014/11/05 10:42

フーリエ変換の定義式では

Ｆ（ω）＝2∫（0⇢2）（-ｔ+2）ｅ＾（-ｊωｔ）ｄｔ

を

Ｆ（ω）＝∫（-2⇢2）f(t)ｅ＾（-ｊωｔ）ｄｔ

と変える。

次に、
ｅ＾（-ｊωｔ）＝cos ωｔ - j sin ωｔ
になおす。

実部、虚部に分けて積分の式を書く。
虚部のほうは、積分区間を-2から0　と　0から2　に分けて、
積分変数を、片方だけ　ｔ　から　-ｔ　にかえる。このとき
積分区間の変更もする。被積分関数が右と左で違うことに注意する。
すると、打ち消しあって実部だけ残る。

実部の積分では、被積分関数が、ぐう関数だから、片側の積分の値の２倍になる。

以上、自分の手でやってみて、困ったらまた聞いてください。

No.1 回答者： Nanimonite4 回答日時： 2014/11/05 07:55

定義式のほうの積分範囲は-2≦t≦2なのではありませんか？