濃度のべきについての証明で、わからないことがあるので、教えてください。
0でない任意の濃度p,m,nについて (p^m)^n=p^(mn) が成り立つ。
[証] F(X,Y) をXからYへの写像全体の集合とする。このとき、
F(A×B,C)とF(B,F(A,C))の濃度が等しいことを示す。
fをF(A×B,C)の任意の元とする。Bの元yを一つ固定して、Aの各元xにf(x,y)を対応させる写像をf_yとすると、f_y∊F(A,C)。次にBの各元yに対して、上のように定まるf_yを対応させる写像をf~とかくと、f~∊F(B,F(A,C))。
これらより、任意の(x,y)∊A×Bに対して、f(x,y)=(f~(y))(x)である。
以上のようなF(A×B,C)の各元fからF(B,F(A,C))の元f~を対応させる対応は全単射であるので、F(A×B,C)~F(B,F(A,C))。
とあるのですが、最後の「全単射である」のをどのように示したらよいのかわかりません。
f_yやf~に関しては理解できますが、「f(x,y)=(f~(y))(x)」この関係式からしっかりと理解してないのが原因だと思います。
証明や具体的なアドバイスをいただけると幸いです。よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.2 のお礼に書かれている内容は, 何を言いたいのか, 質問者様ご本人も理解できていないと思います.
最初の質問文に戻り,
>以上のようなF(A×B,C)の各元fからF(B,F(A,C))の元f~を対応させる対応
この写像を h とします.
h : F(A×B, C) → F(B, F(A, C))
h が単射であることの証明は, F(A×B, C) の任意の元 f, g に対して,
h(f) = h(g) ならば f = g
を示すのが定番になっていますが, その方法でイメージできないのであれば,
f ≠ g ならば h(f) ≠ h(g)
を示すという, 滅多に使わない方法を試してみてはいかがでしょうか.
f ≠ g ならば, f(x, y) ≠ g(x, y) となる (x, y) ∈ A×B が存在します.
これを足掛かりに, まず f_y ≠ g_y が得られ, それにより f~ = h(f) ≠ h(g) = g~ が得られます.
全射であることの証明.
F(B, F(A, C)) の任意の元 f~ に対して, A×B から C への写像を f を,
f(x, y) = (f~(y))(x) ((x, y) ∈ A×B)
と定義すれば, h(f) = f~ となりますから, h は全射です.
「f~ は B から F(A, C) への写像で, f~(y) は A から C への写像」ということを, 意識してください.
f に関しては「存在」だけでなく, その作り方から「一意性」も明らかなので, h が単射であることも(副産物として)示されたことになります.
No.2
- 回答日時:
2つの写像が等しいことの定義を, 思い出してください.
単射であることも, また, 全射であることも, かなり明らかです.
二つの写像f,g:X→Yに対して、Xの任意の元xについてf(x)=g(x)が成立する。が写像が等しい定義だと思います。
任意のx,yに対して、(f~(y))(x)=(f'~(y))(x)を仮定する。
写像の定義から(左辺)=f(x,y) (右辺)=f'(x,y) となるので、f(x,y)=f'(x,y)。すなわち単射。…こんな感じでしょうか?
全射であることは、どのように示したらいいのかわかりません。
任意の(f~(y))(x)に対してf(x,y)が存在する根拠がよくわかりません。
よろしくお願いします
No.1
- 回答日時:
「全射」かつ「単射」って示せばいい. どっちかは簡単なはず.
そうなのですが、全射・単射もうまく示すことができないのです。
単射については、F(B,F(A,C))の任意の2元f~、f'~について、「f~=f'~ならばf=f'」を示せばよいと思ったのですが、このf=f'の関係式が何なのか掴めず、止まっている状態です。
また全射についても、F(B,F(A,C))の任意の元f~に対して、fが存在するということを言えればよいのですが、証明をどう書けばいいのかわかりません。
もう少しアドバイスをいただけると幸いです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 小学校 食塩水問題です 4 2022/12/09 18:31
- 高校 合成関数の定義域につきまして 1 2022/05/18 17:26
- 数学 代数学 環 1 2022/10/11 00:04
- 数学 内田伏一著「集合と位相」裳華房 p28 定理7.1 (カントール )べき集合から集合への単射の不存在 3 2022/11/04 11:54
- 数学 代数学 原始多項式について 3 2022/06/24 19:06
- 数学 代数学のこの問題がわからないので教えて頂きたいです。 具体的には「写像の合成に関して群になる」のとこ 3 2022/11/13 17:16
- 数学 環論の素元について 6 2022/05/09 04:04
- 営業・販売・サービス トラブル客の来店時の対応 私は令和2年~毎年勤務先の人材派遣会社で契約先のスズキディーラーの初売りの 1 2023/01/03 09:53
- 数学 回答の意味について 4 2023/07/11 11:19
- その他(教育・科学・学問) 大学教員採用選考について 3 2022/10/01 15:40
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
NからN×Nの全単写
-
線形、非線型ってどういう意味...
-
四次対称群S4が可解群であるこ...
-
f^(-1)(f(P))=Pを示したい
-
Lebesgue測度μではμ(S\T)=μ(S)...
-
集合論に強い方、R^2=平面、R^1...
-
全射・部分写像の個数の問題
-
複素数の関数
-
初めての複素関数の勉強
-
商空間とハウスドルフ空間
-
【数学】多重根号の問題です。√...
-
線形写像の証明問題です。
-
線形写像 Imfについて
-
関数(全域的関数)の個数について
-
Domain of a Function
-
必要十分条件
-
これめちゃあやしくないですか...
-
濃度のべきについて
-
群論、生成元と関係式
-
整数を実数、非整数を複素数に...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報