2変数関数の最小値、最大値

f(θ,φ)=sin^2 θcosθsinφcosφ
定義域は{0<θ<π/2 , 0<φ<π/2}とする。
1)最大値の時のφの値を求めよ
2)最大値の時のcosθを求めよ
3)f(θ,φ)の最大値を求めよ

この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/05/03 05:29

f(θ,φ)においてθを含む部分とφを含む部分を分離できる形になっているので

f(θ,φ)=sin^2 θcosθsinφcosφ=T(θ)P(φ)

T(θ)=sin^2 θcosθ

P(φ)=sinφcosφ

と置く。θとφの関係は与えられていないので、独立に変化させることができる。f(θ,φ)が最大値を取るのはT(θ)が最大値を取り、かつ、(φ)が最大値を取る場合である。

1)最大値の時のφの値を求めよ

P(φ)が最大となるφの値を求めれば良い。

P(φ)=sinφcosφ=sin2φ/2

0<φ<π/2のときp=2φは0<ｐ<πであって、sin2φ＝sinpはp=π/2のとき最大となり、最大値1をとる。したがってφ=p/2=π/4のとき最大値1をとる。P(φ)は最大値1/2をとる。

2)最大値の時のcosθを求めよ

T(θ)=sin^2 θcosθが最大となるときのt=cosθの値を求めれば良い。

T(θ)=sin^2 θcosθ＝(1-cos^2θ)scosθ=(1-t^2)t=-t^3+t=u(t)

とおくと0<θ<π/2においてt=cosθは0<t<1の値を取り、この変域においてu(t)が最大値を取る場合のtの値を求めれば良い。３次関数なので微分を使う。

du(t)/dt=-3t^2+1=0となるのはt=±√3/3のときであるが、0<t<1なのでt=√3/3のとき、u(t)=T(θ)は最大となる。最大値はu(√3/3)=-(√3/3)^3+√3/3=-√3/9+√3/3=2√3/9

3)f(θ,φ)の最大値を求めよ

P(φ)の最大値とT(θ)の最大値の積を求めれば良い。1),2)より

(1/2)(2√3/9)=√3/9

No.3 回答者： viquick 回答日時： 2015/05/03 09:36

簡単な問題だが、答案の書き方には気をつけたほうがいい。

「(sinθ)^2 * cosθ が最大、かつ (sinφ)(cosφ) が最大のとき、f(θ, φ) が最大になる」と、何の理由も述べずに断定すると、減点対象になる。
一般論としては、どちらも最小のときに f(θ, φ) が最大になるかもしれない。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/05/03 01:53

「2変数」というのがただの虚仮威しであることを見抜いて 1変数の最適化問題に帰着させる.