楕円の二重積分について

SS_A(x^2+y^2)dxdy A:(x^2/4)+y^2=1

これを、まず、A:(x/2)^2+y^2=1と考え、
x/2=rcosθ、y=rsinθとしました。
そうして、xとyが求まったところで、0<=r<=1,0<=θ<=2πであることから、
∫_0~2π∫_0~1(4r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)rdrdθ
これを解いていくと、
∫_0~2π(cos^2θ+1/4sin^2θ)dθ
が出ました。
しかし、ここから先の解き方が分かりません。
どなたか、解説をお願いします！！

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/04 23:58

物理学者の siegmund です．

∫∫_A(x^2+y^2)dxdy A:(x^2/4)+y^2≦1
ですね．
A は楕円の内部ということですよね．

変数変換は妥当ですが，ヤコビアンが違います．
x = 2r cosθ，y = r sinθ
ですから，ヤコビアンは r dr dθでなくて
2r dr dθです．

cos^2θやsin^2θの積分は倍角公式を使うのが常套手段です．

対称性に注目するなら，
はじめに x/2 = u とでもおいて，
そのあと前の質問
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9036440.html
の回答後半で述べたようにすれば角度積分が不要です．
お試しください．

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
解きなおしてみます！！

お礼日時：2015/08/05 09:01