楕円の重積分(3)

SS_A(x^2+y^2)dxdy A:(x^2/4)+y^2=1

これを、まず、A:(x/2)^2+y^2=1と考え、
x/2=rcosθ、y=rsinθとしました。
そうして、xとyが求まったところで、0<=r<=1,0<=θ<=2πであることから、
∫_0~2π∫_0~1(4r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)2rdrdθ
これを解いていくと、
2∫_0~2π(cos^2θ+1/4sin^2θ)dθ
が出ました。

公式に従いますと、
cos^2θの積分は1/2θ+1/4sin^2θ+C
sin^2θの積分は1/2θ-1/4sin^2θ+C

これを上の積分の式に当てはめて考えると、
2*[5/8θ+3/16sin2θ]_0~2π
=5/2π

どうでしょうか？
計算結果があっているか、ご確認ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/05 14:56

> SS_A(x^2+y^2)dxdy A:(x^2/4)+y^2=1

　"S"ってのは"∫"のことかな？だとすれば、Aは積分範囲を示す、ということだろう。だとすると、楕円の輪郭線であるAのどの点でも被積分関数は有限の値を取るから、この定積分が0であることは明らか。

　いや、ま、これは書き間違いであって、問いが求めてるのは
　　∫∫{(x,y)∈A} (x^2 + y^2) dxdy, A = {(x,y) | (x^2)/4 + y^2 ≦ 1}
だ、という話でありましょうか。ならば計算結果は合っている。

　あとは計算の要領のコマカイ話です。まずは
「この定積分をUとする。変数変換
　　z = x/2, dz = (1/2)dx
を行うと、積分範囲は単位円の内側
　　C = {(z,y) | z^2 + y^2 ≦ 1}
であり、
　　U = 2∫∫{(z,y)∈C} (4(z^2) + y^2) dzdy
である」という風に始めれば、おなじみの極座標表現
　　z = r cosθ, y = r sinθ, dzdy = r drdθ
　　(z,y)∈C ⇔ 0≦r≦1 ∧ 0≦θ＜2π
　　z^2 + y^2 = r^2
にすんなり行けるから、一気にやるより間違いが生じにくいでしょ。
　　U = 2∫{θ=0〜2π} (∫{r=0〜1}(r^3)(1+ 3((cosθ)^2)dr)dθ
　　= 2(∫{r=0〜1}(r^3)dr) ( 2π+3∫{θ=0〜2π}((cosθ)^2)dθ)

　(cosθ)^2の不定積分はあんまり使わないけれども、任意の実数φと任意の自然数n≧1について
　　∫{θ=φ〜φ+2π} ((cosθ)^n) dθ = (nが奇数なら0, nが偶数なら 2π(n-1)!! / n!!)
　　（ただし、nが偶数のとき(n-1)!!=1×3×…×(n-1), n!! = 2×4×…×n）
であることは、知ってると便利なことがあります。

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/05 20:48

siegmund です．

前にも書きましたが
∫∫_A(x^2+y^2) dxdy A:(x^2/4)+y^2≦1
ですよね．

stomachman さんも言われていますが，
計算結果は合っています．

1/2θや 5/2πは誤解を招きやすいので
(1/2)θや (5/2)πと書くべきでしょう．

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9037174.html
でも書きましたが，問題の積分は
∫∫_A (4u^2 + y^2) 2 du dy
= (5/2) ∫∫_A r^2 2 du dy
= 5 ∫∫_A r^3 dr dθ
と変形できますから(こうすれば cos^2θなどの積分が不要)，
答が (5/2)πであることは暗算で出来ます．

上の式の u が stomachman さんの z にあたります．

この回答へのお礼

たびたびありがとうございます。
完全に独学で勉強しているため、ちょっと教えてもらえれば分かるようなことも、全然わからずに苦労しています。
こうして質問にご回答いただける方がいると、効率的に勉強ができます。
働きながら通信制の大学で学んでいるので、何時間も苦労して一人で考えていれば、仕事に差し支えてしまいます。
お手数をおかけしました。
しかしその分、ずいぶんと助かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2015/08/06 06:05