中学受験の算数です。解法を教えて下さい

11x+9y=160のxとyについて、あてはまる整数を求める問題ですが、解答を読んでも理解できません。詳しい方、ご教授ください。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2016/03/15 22:00

11x+9y=160 　　　　　　 (1)

この手の問題を解く方法は次の通りです。
1)方程式(1)の解を一つ見つける。これをx=a,y=bとする。
2)a,bは(1)を満たすので
　　　　11a+9b=160 　　　　 (2)
　(1)-(2)を作ると
　　　　11(x-a)+9(y-b)=0 　　　 (3)
　11と9は互いに素なのでｔを整数として
　　　　x-a=9t, y-b=-11t
　は(3)を満たしている。つまり
　　　　x=9t+a, y=-11t+b (4)
が解である。

aとbの見つけ方は臨機応変です。見つかればよい。ユークリッドの互除法というのがありますが中々使いにくい。(1)のばあい、a=bとして(1)に代入して
a=b=8 (5)
(4)に代入して
　　　x=9t+８, y=-11t+８ (t=0,±1,±2,±3,.....)
が答えです。

たとえばt=1とすると
　　x=17,y=-3
これが(1)を満たすことを確認してください。

この回答へのお礼

お答えいただきありがとうございます。
しかし、中学受験なので、方程式を使う解法を探しております。
ご存じでしたら、お教えください。
ちなみに、こたえはx=8,y=8です。

お礼日時：2016/03/16 05:58

No.2 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/03/16 11:04

「中学受験なので、方程式を使わない解法を探しております」の書き間違いでしょうか。

小学校の算数なら、負の整数は考慮の対象外ですよね。
よって 0 ≦ 11x ≦ 160 ですが x が整数であることから 0 ≦ x ≦ 14 となります。
この範囲の整数15個すべてについて 160 - 11x が 9 の倍数かどうか調べればよい。
実際に計算すると x = 8 のときに限り 160 - 11x が 9 の倍数になることが分かります。
このときの y の値 8 は、計算ですぐに求められます。

それ以外の解き方としては、まず x = 0 のとき 160 - 11x を 9 で割った余りを求めます。
160 を 9 で割るのだから、余りは 7 です。
11 - 9 = 2 なので x = 1 のとき 160 - 11x を 9 で割った余りは 7 - 2 = 5 になるはず。
以下同様に x の値を 1 大きくするごとに 160 - 11x を 9 で割った余りは 2 小さくなっていく。
ただし余りは負の数にならないので、この規則で余りが負の数になる場合は、その値に 9 を加えます。
こうして 160 - 11x を 9 で割った余りを調べると
7 → 5 → 3 → 1 → 8 → 6 → 4 → 2 → 0 → 7 → 5 → 3 → 1 → 8 → 6
ここで打ち止めです。
余りが 0 のとき、すなわち x = 8 のときに限り 160 - 11x を 9 で割った余りが 0 となることが分かります。

ところで「解答を読んでも理解できません」とありますが、その解答を書いた上でどこが理解できないかを書けば、より適切な回答が得られるかもしれません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。問題集の解答に「11x」のところに「 ÷9で2あまり、8個集まって」の記載があり、これが何を意味するかサッパリでした。とても丁寧に書いてくださったので、その意味もようやくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2016/03/16 22:37

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/03/16 18:02

＞解答を読んでも理解できません。

　それを書いていただかないと、全くピントがずれた説明になりますよ。
そもそも、中学受験では方程式は使わないのが基本です。「その数式からなにを読み取れるか？」その能力を試されている。
「あいまいな言語である言葉から、抽象的で曖昧さのない式に訳せるか」
「抽象的で曖昧さのない式から、それをイメージして解法を見つけ出せるか？」
　という言語能力を知りたい。言語能力が学問や社会での基本ですからね。

＞11x+9y=160
　から、一方が増えれば他方が減る関係にあるのはわかりますか？
＞11x+9y=160
　から、11x = 160 - 9y
　　[160 - ？]は11の倍数だと読み取れてますか？
┌───────────────────────┐
│11x+[？]=160 の両辺からおなじ[?]を引いても、
│左辺 = 右辺　の関係は変わらないので
│　11x+[？] - [？] =160 - [？]
│　　11x　 =160 - [？]
│ 両辺を同じ数11で割っても ＝ の関係は変わらない
│　　x = (160 - [？])/11
└───────────────────────
＞11x+9y=定数
　から、9y = 160 - 11x
　　[160 - 11x]は、9の倍数だと読み取れてますか？

あとは、
9y = 160 - 11x　→　y = (160-11x)/9
[160 - 11y]が9の倍数なので
　11×1，11×2、11×3，・・・,11×14
　 11　　　22　　　33・・・・・・154
差 149　　 138　　 127・・・・・・　6
これが9で割れないとならない。
y　(11y)　(160-11y)　(160-11y)/9
1　　11　　　149　　　 16 + 5
2　　22　　　138　　　 15 + 3　２ずつ減っていく
3　　33　　　127　　　 14 + 1
4　　44　　　116　　　 12 + 8
5　　55　　　105　　　 11 + 6　あと3段階で0
・・・・
8　　88　　　 72　　　　 8 + 0　⇐

よって、y=11
後は解ける。

文章（や会話）から、意味を読み取り解き方の目安が立てられるかをテストしているのですよ。
　そのためには、私たちの回答を見て納得しているのではだめです。・・・かえって逆効果です。
解き方は人によって様々です。今回は、一見して、9y = 160 - 11xのほうが、11x = 160 - 9yを使うより楽だと推測できたので、それを使いました。（なぜでしょう？）が、11x = 160 - 9yを使ったって一緒です。

　問われている内容を理解できると、解き方は自分で見つけられる。繰り返し読んで、自分で解法を見つけ出せるようなることが必要なのですよ。他人の解法を聞けば聞くほど、その能力は小さくなっていく。

　大事なことは、本をたくさん読んで国語力を身につけること。たったそれだけです。

この回答へのお礼

詳しいご回答をありがとうございました。「国語力を」と言うのは、全くごもっともで、大変耳がいたいです。2問目が桁数が増えて複雑になっているのですが、頑張ってみようと思います。

お礼日時：2016/03/16 22:42