「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

高校の物理についてですが、
二乗平均速度と平均速さvの二乗は同じってことでよろしいのでしょうか?

また平均速さの二乗について、
<v>^2=<vx>^2+<vy>^2+<vz>^2
は成り立つのでしょうか。
頭が混乱してしまいました。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    それでは、
    <v^2>=<vx^2>+<vy^2>+<vz^2>
    となにが違うのでしょうか?

      補足日時:2016/04/11 16:00

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A 回答 (4件)

No.3です。

いつの間にか「補足」が付いていたのですね。

 私は、単純にブラケット <> は「特に意味がない」ものとして扱っていました。
 「平均」という意味でお使いなのでしょうか。

 2つのケースで考えてみましょうか。
 まず、二乗平均のケース。

No.3に書いたとおり、速度ベクトルが v1, v2, v3 あるとすると、
   →v1 = →vx1 + →vy1 + →vz1
   →v2 = →vx2 + →vy2 + →vz2
   →v3 = →vx3 + →vy3 + →vz3
として、絶対値記号は省略して、そのベクトルの大きさは
   v1^2 = vx1^2 + vy1^2 + vz1^2
   v2^2 = vx2^2 + vy2^2 + vz2^2
   v3^2 = vx3^2 + vy3^2 + vz3^2
と書けるので、「二乗和」は
   v1^2 + v2^2 + v3^2
  = ( vx1^2 + vx2^2+ vx3^2 ) + ( vy1^2 + vy2^2+ vyx3^2 ) + ( vz1^2 + vz2^2+ vz3^2 )   (A)
となるのは分かりますね?
 これが、No.3で言っている「ベクトルの大きさの加算」です。

 これを使って「平均」を計算しましょう。<>を平均の意味にして

・速度ベクトル v1, v2, v3 の二乗平均:
   <v^2> = ( v1^2 + v2^2 + v3^2 ) / 3

・x成分 vx1, vx2, vx3 の二乗平均:
   <vx^2> = ( vx1^2 + vx2^2 + vx3^2 ) / 3

・y成分 vy1, vy2, vy3 の二乗平均:
   <vy^2> = ( vy1^2 + vy2^2 + vy3^2 ) / 3

・x成分 vz1, vz2, vz3 の二乗平均:
   <vz^2> = ( vz1^2 + vz2^2 + vz3^2 ) / 3

これらと(A)式から、
   <v^2> = <vx^2> + <vy^2> + <vz^2>
となっていることはお分かりと思います。


これと質問本文にある
  <v>^2 = <vx>^2 + <vy>^2 + <vz>^2
とは全く違うことはお分かりですか?
 この式では、単に「ベクトル<v> の x, y, z 成分が <vx>, <vy>, <vz> 」ということです。

 この場合には、
  →v = →v1 + →v2 + →v3
を考えると
  →v = (→vx1 + →vx2 + →vx3 ) + (→vy1 + →vy2 + →vy3 ) + (→vz1 + →vz2 + →vz3 )
ですから、x成分は
  →vx = →vx1 + →vx2 + →vx3
であって、
   vx^2 = |→vx1 + →vx2 + →vx3 |^2 ≠ vx1^2 + vx2^2+ vx3^2
です。(極端なケースとして、 →vx1 = - →vx2 ≠ 0 で考えれば分かる)
 従って、ここでの「→vx」は、上のケースで求めている <vx^2> の平方根とは全く違うことは分かりますよね? マイナスになることだってあります。

 この場合では、しいてこじつければ
  →<v> = ( →v1 + →v2 + →v3 ) / 3
  →<vx> = ( →vx1 + →vx2 + →vx3 ) / 3
  →<vy> = ( →vy1 + →vy2 + →vy3 ) / 3
  →<vz> = ( →vz1 + →vz2 + →vz3 ) / 3
ですから、
  →<v> = →<vx> + →<vy> + →<vz>

  <v>^2 = <vx>^2 + <vy>^2 + <vz>^2
です。


 No.3にも書いたとおり、「平均の二乗」と「二乗平均」とは別物と考えた方がよいです。「二乗平均」は、全て「プラスの値」から平均を求めるので必ずプラスになりますが、「ただの平均」では「プラスとマイナスの単純平均」ですから「ゼロ」になることもあり得ます。
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>二乗平均速度と平均速さvの二乗は同じってことでよろしいのでしょうか?



 ランダムに運動するものが対象であれば、「平均速さ」が「あっちに行くものもあれば、こっちに来るものもある」の平均の意味だと、「ゼロ」になってしまいますよね。
 どんなに速く「行ったり来たり」しても、「行くもの」と「来るもの」で相殺して、平均は「ゼロ」。「運動していない」のと同じになってしまいます。

 それでは困るので、「二乗」をとってから平均しているのです。そうすれば、「あっち向き」と「こっち向き」は相殺せずに、速いものは大きく、遅いものは小さく計算することになるので。

 「平均速さv」が、方向を持たない「『速度の絶対値』の平均」の意味であれば、おっしゃっている「平均速さvの二乗」=「『速度の絶対値』の平均値を二乗したもの」と、「二乗平均速度」とは似たような意味なります。
 ただし、平均値の計算のしかたと、どこで二乗するかで、「二乗してから合計をとって個数で割る」のと、「絶対値の合計を個数で割った平均値を二乗する」のでは、計算の順序が違うので、値は一致しません。
 単純に言って、a>0, b>0 という条件を付ても、明らかに
  [ (a + b) / 2 ]^2 ≠ (a^2 + b^2) / 2
ですから。(左辺は「a と b の平均」の二乗、右辺は「二乗平均」です)

 でも、「絶対値」って、実際に計測するのが難しいですし、「運動エネルギー」が実は「(1/2)mv^2」という「速度の二乗」に比例するので、物理的には「二乗で計算する」ことにも意味があるのです。
 また、以下の後半の質問にあるように、「速度」というベクトルを二乗して足し合わせることには、「ベクトルの大きさの加算」という意味があるのです。

>また平均速さの二乗について、
<v>^2=<vx>^2+<vy>^2+<vz>^2
は成り立つのでしょうか。

はい、成り立ちます。

 ベクトルであれば、その x, y, z 成分で
  →v = →vx + →vy + →vz
と書けば、絶対値の間には
  |v|^2 = |vx|^2 + |vy|^2 + |vz|^2
が成り立ちます。|v|がベクトルの大きさになります。
 「二乗平均速度」のように、ベクトルの大きさを二乗して足し合わせるということは、各々の「x, y, z 成分」を二乗して足し合わせるということなのです。

 同様に、ベクトルとしての「平均速度」<v> の x, y, z 成分が <vx>, <vy>, <vz> であれば、一般のベクトルと同様
  <v>^2=<vx>^2+<vy>^2+<vz>^2
が成り立ちます。

 ただし、上に書いたように、ランダムに運動するものの「ベクトルとしての平均速度」はゼロになってしまいますから、ここで質問者さんの言う「平均速さ」とは、一体どんな量なのでしょうか。
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申し訳ありません、#1です。


私はそのブラケットの意味を知りません、お教え下さい。
回答者にはこういう役立たずも居ますので、お手数ですがよろしくお願いします。
只より高い物は無いと云う事かも。
私の知るブラケットは量子論だけです。
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最初の項は忘れました。


><v>^2=<vx>^2+<vy>^2+<vz>^2
速度空間を作ったとき、極座標でも、ピタゴラスの定理でも、それ以外考えられません。
そうしないと垂直な成分が平等で無くなりますからそれ以外無理だと思います。
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物理の「気体の分子運動」の単元で、
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なんでわざわざ「2乗平均速度」にしなくちゃいけないんでしょうか?
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私の言っている公式がなんのことか伝わらない人は、
URLを参考にして下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/2%E4%B9%97%E5%B9%B3%E5%9D%87%E9%80%9F%E5%BA%A6

Aベストアンサー

●速度には方向が含まれていますから、「平均速度」=0になってしまいますね。
 エネルギーには方向性はないわけですから、
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Aベストアンサー

初心者ということですが、
速度の平均(以下、平均は<>という記号を用いる。)が
<v>=∫vf(v)dv (積分区間-∞~+∞)
で与えられるというのはいいですか?
よくなかったら教科書を読み直して下さい。
ただし、f(v)は速度の分布関数で、通常はボルツマン分布f(v)=定数*exp(-E/kT)、E=mv^2/2

要するに速度の平均<v>は右にいく分子と左にいく分子がほぼ同数あるので、<v>~0になる。
★つまり速度には+-があるので、全部平均するとゼロになってしまうのです。

いや、どのくらい速く分子が知りたいという場合は、
速度の絶対値をとって平均してやるか、またはVの2乗をとって平均してやればよい。

速度の2乗をとって平均してやったのが「平均2乗速度」。でもこの量は単位が速度とは異なるので、物理的なイメージがわかない。
そこで「平均2乗速度」のルートをとって、単位を速度と同じにしたものが「根平均2乗速度」。






 


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