束縛変項xと自由変項xを、なぜ束縛変項xと自由変項yで表記してよいか・・・

研究社の英語学要語辞典のbindingのところに、概ね、次のようなことが書いてあります。

「∀x (生x→死x)→悲(x)（「すべてのxについて、xが生物ならxは死ぬ」ならばxは悲しい」）
の悲(x)は、∀によって束縛されていない自由変項であり、束縛変項と自由変項を区別するため
∀x (生x→死x)→悲(y)
のように異なる変項記号を使って書いてもよい。」

なぜにこのようなことが言えるのでしょうか。最初の論理式では、悲の命題関数にxが使われているけど、束縛されていないから、生と死の命題関数に使われているxと違うモノと考える、ということなのでしょうか。

では、自由変項が複数ある場合は、みなxは違うモノと考えるのですか。すなわち（束縛されていない）p(x)や（束縛されていない）q(x)がある場合は、命題関数pのxと命題関数qのxは違うモノと考えるのですか。それとも束縛されている領域にある命題関数のxと、領域外のxという二つの分類だけになるのでしょうか。

それと、束縛領域が二つ以上ある場合は、領域ごとにxが違うものと考えるのですか。

ご教示頂けると幸いです！

質問者からの補足コメント

• 荷風さん、ありがとうございます！
  
  ごめんなさい、分かりませんでした。多分、基礎的な知識が欠如しているのでしょう。悲(x)の理解がなってないのではと自己判断しています。
  
  「すべてのxについて、xが生物ならxは死ぬ」ならば悲(x)
  
  の悲(x)ってどう解釈するのでしょう。単なる命題関数なので、悲(x)を満たすxがなくてもいいのでしょうか・・・

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/04/26 21:46

• 荷風様
  
  ありがとうございます。
  
  ∀x (生x→死x)→悲(x)（「すべてのxについて、xが生物ならxは死ぬ」ならばxは悲しい）
  
  この論理式では∀が束縛しているのは「」内で（xは生物である場合もあるし、xは生物でない場合もある、しかし）、すべてのxを見ると、それが生物なら死んでしまう。死んでしまったらxは悲しむ。このxは自由変項で束縛されていないから、なんでもいい？？？すべて？ん、すべてだと、∀がここまで束縛していることになる？？？
  
  何かが間違っていますね、私のtrain of thoughts。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/04/27 16:58

No.1 回答者： 荷風 回答日時： 2016/04/26 17:55

> なぜにこのようなことが言えるのでしょうか。

最初の論理式では、悲の命題関数にxが使われているけど、束縛されていないから、生と死の命題関数に使われているxと違うモノと考える、ということなのでしょうか。

∀x (生x→死x)→悲(x) この命題は ∀x (生x→死x) のときに xが悲しいといっているだけで、x以外についてはなんら結論を示していない。と、いうことは ∀x (生x→死x) の時に、x以外の y が 悲(y)との結論を導出しても少なくとも∀x (生x→死x) の命題とは矛盾しないことになるはずです。このことを、「悲(x)は、∀によって束縛されていない自由変項であり、束縛変項と自由変項を区別するため
∀x (生x→死x)→悲(y)のように異なる変項記号を使って書いてもよい。」といっているのです。
　したがって、xはあくまでxであり、∀xのxと悲(x)のxが異なっていいと言っているわけではありません。

>では、自由変項が複数ある場合は、みなxは違うモノと考えるのですか。すなわち（束縛されていない）p(x)や（束縛されていない）q(x)がある場合は、命題関数pのxと命題関数qのxは違うモノと考えるのですか。
　
違います。 xはxです。　繰り返しになりますが、∀x (生x→死x)→悲(x) という命題は 悲(x)以外の結論にはなんら制約をしていない以上、q(z), α(y)という結果を持ってきても原命題と矛盾しないというだけです。しかしx はあくまで悲しいという結果になるのであるから、q(x)や、p(x)という結果になってはいけない。

>それとも束縛されている領域にある命題関数のxと、領域外のxという二つの分類だけになるのでしょうか。

やはり違います。領域の異動によりxが異なるわけではありません。

No.2 回答者： 荷風 回答日時： 2016/04/26 23:02

>の悲(x)ってどう解釈するのでしょう。

いや、これは解釈するものではないと思いますよ。例えば、f(x)=xA+B を満たすときのf(x)は解釈で決めるのではなく、xA+Bという法則が決めます。それと同じです。もちろんそのf(x)が「大きい」とか「小さい」といった解釈はあるのかもしれませんが、それはここでは本質ではない。
悲(x)をどう解釈するかは置いておいてください。却って理解するうえで有害ですらある。

>単なる命題関数なので、悲(x)を満たすxがなくてもいいのでしょうか・・・
それはxの定義(域)によると考えていいと思いますよ。たとえば、20=x30+15 という命題(法則)が与えられていたとします。そのとき「ただし、xの値は10より大きいものとする」という定義(域)があったとします。その場合20=x30+15という命題を満たすxはありませんよね。しかし、それは命題と矛盾するものではない。命題は、当該命題を満たすxが必ず存在すると宣言しているわけではないからです。
で、本件命題はどうかというと、「すべてのxについて、xが生物なら・・・」と実はxの定義がしっかりなされている。すべてのxが生物だったら、という定義があるわけです。そうすると、xは生物である限り例外なく悲(x)とならなければいけないでしょうね。

わからなければもう一度No1の回答をじっくり読んで下さい・・・といいたいところですが、私一応、英語が専門なので、まあほどほどに読んでみて下さい。

No.3 回答者： 荷風 回答日時： 2016/04/27 17:17

>このxは自由変項で束縛されていないから、なんでもいい？？？

いや自由変更で束縛されていないのは x　ではなくて 悲(x)ですよ。悲(x)はxに依存するものの x と悲(x)は別ですからご注意あれ。

う〜ん、困りましたね。こう言っては身も蓋もありませんが、数学とか他のカテゴリーで質問してみたらいかがですか？ もしかしたら専門家が答えてくれるかもしれませんよ。

この回答へのお礼

荷風さん、色々と有難うございます。私の知識の浅さからくる愚問にお付き合いして頂きまして有難うございます。英語学の文献を見ていると、この種の論理式を使った話が出てきて四苦八苦してしまいます。大学時代に記号論理学の講義を取っておけば良かったなと思います。小生、もともと化学系が専攻であまり記号論理学等の必要性を感じてませんでした。後悔しています。

お礼日時：2016/04/29 10:07

No.4 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/04/29 02:19

はじめまして、こんばんは。

変なニックネームで恐縮です (^^;

(∀x[生(x) → 死(x)]) → 悲(x)　『「すべての x について, x が生物なら x は死ぬ」ならば x は悲しい』

「束縛変項と自由変項を区別するため、異なる変項記号を使って書く」義務はありませんが、そうする方が見やすいとは思います。
ただ、その場合は束縛変項として使う記号を替えるほうが、より一般的かもしれません。
要するに
(∀y[生(y) → 死(y)]) → 悲(x)　『「すべての y について, y が生物なら y は死ぬ」ならば x は悲しい』
これは、最初の論理式とまったく同じ、つまり区別しません。

>最初の論理式では、悲の命題関数にxが使われているけど、束縛されていないから、生と死の命題関数に使われているxと違うモノと考える、ということなのでしょうか。
そのとおりです。違うというか、区別します。

>自由変項が複数ある場合は、みなxは違うモノと考えるのですか。すなわち（束縛されていない）p(x)や（束縛されていない）q(x)がある場合は、命題関数pのxと命題関数qのxは違うモノと考えるのですか。
「自由変項が複数ある」とは、ある自由変項（この場合でいえば x です）が複数個現れる、という意味ですよね。
であれば、両者は同一のものです。
例えば、命題関数 (x + 1 = 2) → (x + 2 = 3) において、現れている2つの x は同一のものです。

>それと、束縛領域が二つ以上ある場合は、領域ごとにxが違うものと考えるのですか。
そのとおりです。違うというか、区別します。
例えば、対象領域を整数全体として
∃y[(∀x[x + y = x]) ∧ (∀x[xy = y])] という命題を考えます。
∀x[x + y = x] という部分において, ∀x のスコープに x が2つ現れていますが、両者は同一の整数です。
しかし, ∀x[xy = y] という部分において, ∀x のスコープに現れている x は、先ほどの x とは別のものです（正確には、同じものとは限りません）。

この回答へのお礼

有難うございました。教えて頂きまして感謝申し上げます。少しずつではありますが、勉強しております。今後ともどうぞ宜しくお願い致します。

お礼日時：2016/04/29 10:13