テーラー展開の結果は微分可能な区間全域で成立しますか

区間[ 0 , +∞ ]で無限回微分可能な関数f(x)をx=0にてテーラー展開したものをg(x)とします。

　　　　　　　　　n
g(x)＝ 　lim 　　　∑ (1/k!) f(k)(0) x^k
　　　　n → +∞　k=0

このとき、区間[ 0 , +∞ ]で、f(x)=g(x)は成立しますか。

No.2 回答者： tumagie 回答日時： 2016/05/12 03:07

正則, というのは複素関数として, ということですよね.

f(x)=sinx の場合は g(x) の収束半径が ∞ のため成立します. (一般には f(x) が整関数であれば成立します.)
しかし, f(x)=log(1+x) の場合 g(x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+… の収束半径は 1 ですから, x>1 では g(x) はそもそも収束しません.

No.1 回答者： tumagie 回答日時： 2016/05/10 23:59

成立しません. f(x) を x>0 のとき e^(-1/x), x≦0 のとき 0 であるような実数全体で定義された関数として定

義したとき, f(x) は無限回微分可能であって, x=0 でテイラー展開したものを g(x) とおけば g(x)≡0 であることが知られています. これは無限回微分可能であることが解析的であることを意味しない例としてよく引き合いに出されるものです.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ではf(x)を、無限回微分可能な関数　 →　正則な関数　と修正したら、f(x)=g(x)は定義区間全域[ 0 , +∞ ）で成立しますか。
例えば、f(x)=sin(x)なら、f(x)=g(x)は定義区間全域[ 0 , +∞ ）で成立しますか。

お礼日時：2016/05/11 12:28