二等分面

二平面　x + 3*y - 2*z - 1 = 0, 4*x - 2*y - z + 2 = 0
のなす角を求め,　二等分面の方程式をお願いします。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2016/09/25 17:54

Ｎｏ.１です。

なるほど、平面の方程式のｘ、ｙ、ｚの係数にその平面の法線ベクトルの成分がすでに表れているとは
気づきませんでした。なにもベクトル積など使う必要なかったんですね。おはずかしいかぎりです。

さて、二等分面ですが、ぼくはつぎのようにしてもとめました。ぼくが前レスで求めた各平面の
法線ベクトルの各向きの単位ベクトルの和と垂直な平面と、それらの単位ベクトルの差と垂直な
平面を求めたわけです。（これらの平面が求める２等分面であることは、交差する２平面をそれらと
垂直な平面の側から見た図を書き長さの等しい法線ベクトルを立てればあきらかとおもいます。）
そして求める平面が、条件の２平面の交線がｘｙ平面を切る点Ｃ(－2/7,3/7,0)を通るということで
求める平面上の点Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)にたいしてベクトルＣＰ＝(x+2/7,y－3/7,z)がさきの単位ベクトルの和
や差の内積＝0として式をもとめました。(C,Pが求める面上にあるから内積0です。)
ただし実際の計算では単位ヴェクトルの和や差の√42倍したのを使って分数の計算にならないように
しています(ベクトルを正数倍しても向きはおなじだからです。)。結果は以下の２面です。

(4√2－√3)x－(2√2+3√3)y+(2√3－√2)z+2√2+√3=0
(√3+4√2)x+(3√3－2√2)y－(2√3+√2)z+2√2－√3=0

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/09/25 01:33

それぞれの平面の法線ベクトル n1=(1, 3, -2)と n2=(4,-2, -1)の内積は０なんで、２つの平面は直交しています・

２平面の交線を通る平面は、
(x + 3*y - 2*z - 1) + α(4*x - 2*y - z + 2) = 0
と書けます。
二等分面を求めたいなら、平面の法線が、n1/|n1| + n2/|n2| に平行になるように、αを定めればよいでしょう。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2016/09/24 22:20

ベクトルを使って説明します。

最初の平面がｘ軸、ｙ軸、ｚ軸を切る点をＡ₁、Ｂ₁、Ｃ₁、後の平面のそれらをＡ₂、Ｂ₂、Ｃ₂とすれば
それぞれの座標が、Ａ₁(1,0,0)、Ｂ₁(0,1/3,0)、Ｃ₁(0,0,－1/2)、Ａ₂(－1/2,0,0)、Ｂ₂(0,1,0)、Ｃ₂(0,0,2)
となります。すると、ベクトルＡ₁Ｂ₁(これをかっこでくくって(Ａ₁Ｂ₁)とします。以下同じ)の成分は
(Ａ₁Ｂ₁)＝(－1,1/3,0), (Ａ₁Ｃ₁)=(－1,0,－1/2), 3(Ａ₁Ｂ₁)＝(－3,1,0), 2(Ａ₁Ｃ₁)=(－2,0,－1)と
成分表示されます。ここでベクトルを２倍や３倍してるのは後で内積やベクトル積を計算しやすいように
したいためです。
さて、3(Ａ₁Ｂ₁)と2(Ａ₁Ｃ₁)は最初の平面上のベクトルだからそのベクトル積3(Ａ₁Ｂ₁)×2(Ａ₁Ｃ₁)は、この
平面の法線ベクトルです。そしてその成分は3(Ａ₁Ｂ₁)×2(Ａ₁Ｃ₁)＝(－1,－3,2)です。
まったく同じようにして、2(Ａ₂Ｂ₂)×(Ａ₂Ｃ₂)は後の平面の法線ベクトルでその成分は
2(Ａ₂Ｂ₂)×(Ａ₂Ｃ₂)＝（4,－2,－1）です。この2つの法線ベクトルの内積をとると0となるので
この２平面は直交しているという結果が出ます。

つぎに、２等分面についてはのちほど、