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次の問題で、どのように極座標の変数変換をすればよいのかがわかりません。
∬(x-y)*(x+y)^6dxdy,D={(x,y)|5x^2+6xy+5y^2≦4,x≦y}
Dの形は楕円のようになるのでわないかと思ったのですがそこからが分かりません。
回答お願いします。

A 回答 (1件)

領域Dの2次曲線の式を主軸変換して標準形になるように変換した後、もう一度極座標変換すれば計算しやすくなるのでは・・!?


(領域Dは言われる通り(主軸が45°傾いた)楕円の内部の上半分)

当方で計算してみたら
∬[D]{(x-y)*(x+y)^6}dxdy = -4/63

(計算ミスっていたらばご容赦(^^)!)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、そのような手法で計算してみます。

お礼日時:2017/01/14 22:14

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Q極座標による重積分の範囲の取りかた

∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2)
を極座標でに変換して求めよ。

という問題で、

x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、
rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。


x^2+y^2
= (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2
= r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2}
= r^2< = π^2

とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか?
rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
0≦r≦π、0≦θ<2πです。(-π<θ≦πでもよいです。
等号もどっちにつけても良いです)

ちなみに極座標ではr≧0です。

極座標は原点からの距離rと、x軸とのなす角θを使った点の表示
方法です。

Q重分積分の極座標変換について

どうして∬dxdy=∬drdθかけるrなのでしょうか
なぜrをかけるのかわかりません どうやら行列をつかったりする必要があるらしいのですがちょっとわかりずらいです  わかりやすく教えてもらえないでしょうか?

Aベストアンサー

■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
この中の円座標の所が二次元の極座標のヤコビアン|J|の計算で
|J|=rが出てきますのでこれを使って変数変換
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
をします。
実際の計算は
x=rcosθ,y=rsinθ
から
ヤコビ行列Jを求めて
J=
(∂x/∂r,∂x/∂θ)
(∂y/∂r,∂y/∂θ)
=
(cosθ,-rsinθ)
(sinθ,rcosθ)
これからヤコビアン|J|を求めれば
|J|=
|cosθ,-rsinθ|
|sinθ, rcosθ|
=r(cos^2θ+sin^2θ)=r
となりますので機械的に
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と変数変換すればいいことになります。

■で考えるか、●で考えるかは自由です。

直感的には面積素で考える■の方が覚えやすいかと思います。
XY座標から極座標への変換ではなく、もっと複雑な重積分(二変数、三変数の多重積分など)の変数変換では、ヤコビアンを使った方が間違いないでしょう。

■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使...続きを読む

Q重積分の変数変換がわかりません

今、重積分の勉強をしていて
∬(x+y)^4dxdy D:{(x,y)|x^2+2xy+2y^2≦1}
の問題で行き詰まりました。
適当な変数変換をして積分する問題なんですが、
どんな数で変数変換すればいいかわかりません。
わかる方、教えてください!

Aベストアンサー

「u=x+y,v=y」の置換後、D→E:{(u,v)|u^2+v^2≦1},dxdy=dudv
更に「u=r cosθ,y=r sinθ」の置換後
E→F:{(r,t)|0≦r≦1,-π≦θ≦π},dudv=rdrdθ
となり
積分は
∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdt
={∫[r:0,1] (r^5)dr}*{2∫[t:0,π] (cosθ)^4 dθ}
と書き換えることができます。

Q二重積分の極座標変換の変数変換について(再投稿)

次の問題で、どのように極座標の変数変換をすればよいのかがわかりません。
∬(x-y)*(x+y)^6dxdy,D={(x,y)|5x^2+6xy+5y^2≦4,x≦y}
Dの形は楕円のようになるのでわないかと思ったのですがそこからが分かりません。
前回答えていただいた方が見てくださっていたら、具体的にどのように変数変換をしたのか、回答していただけるととてもありがたいです。

Aベストアンサー

とりあえず
s = (x+y)/√2
t = (x-y)/√2
とでもしてみたらどうかね.

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
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説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q円と直線の交差する範囲(重積分)

重積分の範囲が、円の方程式と1次関数になっている場合の考え方をご教授願います。

∬ y dxdy
積分範囲 x^2+y^2≦4 かつ y≧2-x

x^2+y^2≦2^2 より、原点を中心とした半径2の円が考えられます。
極座標でx=rcosθ, y=rsinθとすれば、0≦r≦2 , dxdy=r drdθ

又、y=2-x のグラフは点(0,2)と点(2,0)で円周と接するので、
積分範囲は半径2の円の第一事象の部分

[0≦θ≦π/2かつ0≦r≦2] から [0≦x≦2かつ0≦y≦2-x]
を引いた範囲が積分範囲と考えて良いのでしょうか?

つまり、∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy
の式に累次積分できるんですかね?

お手数をお掛けいたしますが、ご指導願います。

Aベストアンサー

>∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy
>の式に累次積分できるんですかね?

もちろん、合っています。計算すると 「I=8/3-4/3=4/3」 と正しい結果が得られます。

普通は、どちらか一方の座標系の累次積分(逐次積分ともいう)で表して積分します。

xy座標による累次積分で表す方法

I=∫[0→2] dx∫[(2-x)→√(4-x^2)] ydy
=∫[0→2] {[y^2/2](y=√(4-x^2))-[y^2/2](y=2-x)} dx
=∫[0→2] {(4-x^2)/2-(2-x)^2/2} dx
=(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(2-x)^2} dx
=(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(4-4x+x^2)} dx
=(1/2)∫[0→2] (4x-2x^2) dx
=∫[0→2] (2x-x^2) dx
=[x^2-x^3/3] (x=2)
=4-8/3=4/3

極座標による累次積分で現す方法

y=2-x→rsinθ=2-rcosθ→r=2/(sinθ+cosθ) なので

I=∫[0→π/2] dθ∫[2/(sinθ+cosθ)→2] rsinθ*rdr
=∫[0→π/2] sinθ{[r^3/3](r=2)-[r^3/3](r=2/(sinθ+cosθ))} dθ
=(1/3)∫[0→π/2] sinθ{8 -8/(sinθ+cosθ)^3} dθ
=(8/3)∫[0→π/2] {sinθ -sinθ/(√2sin(θ+π/4))^3} dθ
= … (途中計算略)
=(8/3){1-(1/2)}
=4/3

>∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy
>の式に累次積分できるんですかね?

もちろん、合っています。計算すると 「I=8/3-4/3=4/3」 と正しい結果が得られます。

普通は、どちらか一方の座標系の累次積分(逐次積分ともいう)で表して積分します。

xy座標による累次積分で表す方法

I=∫[0→2] dx∫[(2-x)→√(4-x^2)] ydy
=∫[0→2] {[y^2/2](y=√(4-x^2))-[y^2/2](y=2-x)} dx
=∫[0→2] {(4-x^2)/2-(2-x)^2/2} dx
=(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(2-x)^2} dx
=(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(4-4x+x^2)} dx
=(1/2)∫[0...続きを読む

Qヤコビアンとはなんですか?

ヤコビアンとはなんですか?
数学が苦手でなかなか理解できないのでできるだけわかりやすく解説してください。
どうやって出しているのかもできたら教えてください。

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例えば、dxdyというものをx、y→r、θのように変数変換したとき、後者は次元が一個落ちる。それを補う際の比率をヤコビアンが与えるという意味かな。

円筒座標ならr、球座標ならr^2sinθといったようになる。
一般の変数変換ときにも成り立つように、偏微分を使った行列式(ヤコビアン)を使ってあらわされるんだよ。

Q2重積分を極座標を利用して求めよ

∬[D]log√(x^2+y^2)dxdy D: 1≦x^2+y^2≦4, x≧0, y≧0

詳しい解説お願いします。

x=rcosθ, y=rsinθ と置いた時のrとθの範囲がわかりません。

Aベストアンサー

x=rcosθ, y=rsinθで置換積分すると
D ⇒ {1≦r≦2,0≦θ≦π/2}


∬[D]log(√(x^2+y^2))dxdy
=∬{1≦r≦2,0≦θ≦π/2} log(r) rdrdθ
=∫[θ:0,π/2] dθ*∫[1,2] rlog(r) dr
=(π/2)∫[1,2] rlog(r) dr
部分積分して
=(π/2){[(r^2/2)log(r)][1,2]-∫[1,2](r^2/2)(1/r)dr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)∫[1,2] rdr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)[r^2/2][1,2]}
=(π/2){2log(2)-(1/2)(2-(1/2))}
=πlog(2)-(3/8)π


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