数ⅱの不等式の証明がわかりません…

次の不等式を証明せよ。
また符号が成り立つのはどのようなときか。ただしa>0、b>0とする。
4(a^3+b^3)>=(a+b)^3です。

この証明のやり方自体はわかるのですが
詳しい展開の仕方が解説を見てもわかりま
せん…

No.3 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/02 21:29

左辺＝4*a^3+4*b^3

=3(a^3+b^3)+(a^3+b^3)
=3(a^3+b^3)+(a^3+b^3)-3(a^2*b+a*b^2)+3(a^2*b+a*b^2)
=3(a^3-a^2*b-a*b^2+b^3)+(a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3)
=3(a-b)(a^2-b^2)+(a+b)^3
=3(a-b)(a-b)(a+b)+(a+b)^3
=3(a+b)*(a-b)^2+(a+b)^3

とりあえず書きましたが、展開の分からない部分がどこかを直接書いて質問した方が分かり易いかとは思います。

a>0,b>0より、3(a+b)>0
また、(a-b)^2≧0
よって3(a+b)*(a-b)^2≧0であり、
左辺=3(a+b)*(a-b)^2+(a+b)^3≧(a+b)^3=右辺
となる。

等式が成り立つのは3(a+b)*(a-b)^2＝0となる時であり、
a>0,b>0の条件より、a+b>0なので、
a-b=0すなわちa=bの時である。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
テスト頑張ります。

お礼日時：2017/03/04 15:09

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2017/03/02 18:40

4(a^3+b^3)≧(a+b)^3

(左辺)－(右辺) = 3(a+b)(a-b)^2≧0　　(∵a>0、b>0 , (a-b)^2≧0)

等号が成り立つのはa=b

No.1 回答者： asano_nagi 回答日時： 2017/03/02 18:36

この問題で、やり方はわかるのに展開がわからないのは不思議な気がしますが。

展開は、地道に一つずつ「ばらす」だけです。