次の漸化式で定義される数列｛a［n］｝の一般項を求めなさいという問題の解説お願い致します。 a［1］

次の漸化式で定義される数列｛a［n］｝の一般項を求めなさいという問題の解説お願い致します。
a［1］＝1,a［n+1］＝a［n］+(-3)^n

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/22 21:09

移項して

b［n］=a［n+1］ーa［n］=(ー3)^n …(1) とすると
b［n］は、初項が ー3 公比 ー3 の等比数列だから、公式より
b［n］=(ー3)｛(ー3)^n ー1)/(ー3ー1)
=(3/4)｛(ー3)^n ー1｝
(1)より
∴ a［n+1］=a 1 +(3/4)｛(ー3)^n ー1｝
a［n］=1+(3/4)｛(ー3)^(nー1) ー1｝
= 1ー(3/4)+(3/4)｛(ー3)^(nー1) ｝
=1/4 +(3/4)｛(ー3)^(nー1) ｝
=｛3・(ー3)^(nー1)+1｝/4 …No1 same Answer

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/22 13:25

とりあえずa[n]に数字を入れてみましょう

a[1]=1
a[2]=a[1]+(-3)^1=1-3=-2
a[3]=a[2]+(-3)^2=-2+9=7
a[4]=a[3]+(-3)^3=7-27=-20
a[5]=a[4]+(-3)^4=-20+81=61
法則が見えてきましたね？
１つ前の値を-3倍して、1加えた値になっています。
つまり、a[n+1]=-3a[n]+1=a[n]+(-3)^n
4a[n]=1-(-3)^n
a[n]=(1-(-3)^n)/4
となりますね