数学の問題についての皆さんへの質問です。よろしくお願いします。

（X－A）＾４＋（X－B）＾４＝（A－B）＾４を解きなさい。但A≠Bなりとする。という問題です。

この方程式はX＝A及びX＝Bの２根を有する。
よってこの方程式（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４は「X＝A及びX＝Bにて割ることが出来る。」
と書いてあって（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４
＝（X－A）（X－B）｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝と書いていました。

それで（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４を（X－A）（X－B）で実際にやってみたのですが
どうしても「（X－A）（X－B）｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝」になりませんでした。

そこで皆さんに教えてほしいのですが
「（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４」を「（X－A）（X－B）」で割る。
そして結果が「（X－A）（X－B）｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝」の答えが出るように
計算方法を教えてもらえませんでしょうか？よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/11 09:32

「X＝A及びX＝Bにて割る」というのは変な表現ですね。

「(X - A) および (X - B) でくくる」という表現の方がよいのではないでしょうか。

つまり、X=A, X=B が根であるならば
　　与式 = (X - A)(X - B)*f(x)
と書ける、ということです。

f(x) がどういう多項式になるかは地道に計算すればよいのですが、簡単のため
　X - A = a
　X - B = b
とおいてみましょう。そうすると
　A - B = b - a
ですから
　与式 = a^4 + b^4 - (b - a)^4
になります。これを地道に展開すれば
　a^4 + b^4 - (b - a)^4
= a^4 + b^4 - (b^2 - 2ab + a^2)^2
= a^4 + b^4 - (b^4 - 4ab^3 + 6a^2*b^2 - 4a^3*b + b^4)
= 4ab^3 - 6a^2*b^2 + 4a^3*b
= ab(4b^2 - 6ab + 4a^2)

このカッコ内は、
　4b^2 - 6ab + 4a^2
= 4(X - B)^2 - 6(X - B)(X - A) + 4(X - A)^2
= 4X^2 - 8BX + 4B^2 - 6[X^2 - (A + B)X + AB] + 4X^2 - 8AX + 4A^2
= 2X^2 - 2(A + B)X + 4A^2 -6AB + 4B^2
になりますよ。

＞どうしても「（X－A）（X－B）｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝」になりませんでした。

どこかで計算間違いしているだけだと思います。ちゃんと紙に書いて計算してみてください。

この回答へのお礼

大変助かりました。家で一度復習します。ありがとうございました。

お礼日時：2017/04/13 19:57

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/12 02:35

乗数と係数が分かり辛くなるので、X^2=XXという感じで書きます。

(X-A)^4+(X-B)^4-(A-B)^4
=XXXX-4AXXX+6AAXX-4AAAX+AAAA+XXXX-4BXXX+6BBXX-4BBBX+BBBB-AAAA+4AAAB-6AABB+4ABBB-BBBB
=(XX-AX-BX+AB)*2XX-2AXXX+6AAXX-4AAAX-2BXXX+6BBXX-4BBBX+4AAAB-6AABB+4ABBB-2ABXX
=(XX-AX-BX+AB)(2XX-2AX)+4AAXX-4AAAX-2BXXX+6BBXX-4BBBX+4AAAB-6AABB+4ABBB-4ABXX+2AABX
=(XX-AX-BX+AB)(2XX-2AX+4AA)-2BXXX+6BBXX-4BBBX-6AABB+4ABBB-4ABXX+6AABX
=(XX-AX-BX+AB)(2XX-2AX+4AA-2BX)+4BBXX-4BBBX-6AABB+4ABBB-6ABXX+6AABX+2ABBX
=(XX-AX-BX+AB)(2XX-2AX+4AA-2BX+4BB)-6AABB-6ABXX+6AABX+6ABBX
=(XX-AX-BX+AB)(2XX-2AX+4AA-2BX+4BB-6AB)
=2(X-A)(X-B)(XX-AX+2AA-BX+2BB-3AB)
=2(X-A)(X-B)(XX-(A+B)X+2AA+2BB-3AB)
｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝が明らかに２でくくれたので、前に出してます。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2017/04/13 19:58

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/04/11 09:11

まともに割り算をするのは他の人に任せます。

ここでは割り算をしないでこの因数分解を行う方法を説明します。

まず、
（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４=0　　①
①の左辺のXの4次の項に注目します。この係数は"2"であることは簡単にわかります。
ですので左辺を(X-A)(X-B)で割った商のX^2の係数は"2"であることはすぐにわかります。
①左辺のXの3次の項の係数は"-4A-4B"です。①の4解をA,B,α,βとすると解と係数の関係より
A+B+α+β=(4A+4B)/2=2(A+B)
α+β=A+B
となります。
①の左辺を因数分解すると
2(X-A)(X-B)(X-α)(X-β)=(X-A)(X-B){2X^2-2(α+β)X+2αβ}
ですので{}の1次の係数は-2(α+β)=-2(A+B)です。

定数項は①の左辺を展開して得られた定数項をABで割ればよいでしょう。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。助かりました。
因数分解する方法があったとは、私の勉強不足です＞＜
４次式ですので「２次式×２次式」はわかっていたのですが
因数分解の方法がわからなかったので、、、、。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/04/13 20:00