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三角関数の不等式がどうしても解けないです。(2)のやり方教えて下さい!

「三角関数の不等式がどうしても解けないです」の質問画像

A 回答 (4件)

NO.2 の訂正



√2cos(2x-π/4)≧1
cos(2x-π/4)≧1/√2 ・・・・・ ①
と変形して単位円で考えればよい。

x の範囲は
0≦x≦π より
0≦2x≦2π
-π/4≦2x-π/4≦(7/4)π


単位円と直線 x=1/√2 のグラフをかき、
      ~~
①から x=1/√2 の右側が答えになる部分で、直線上も含む。
   ~~   ~~

図から、求める x の範囲は、
-π/4≦2x-π/4≦π/4, 2x-π/4=(7/4)π
0≦2x≦π/2, 2x=2π
0≦x≦π/4, x=π

これが、正解です。
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(2)


y=2x -π/4 とおくと、
0≦x≦π →0≦2x≦2π →-π/4≦2x -π/4≦2π -π/4
よって、-π/4≦y≦2π -π/4

このとき不等式は
√2・cos(2x -π/4)=√2・cosy≧1
つまり、cosy≧1/√2 を考えればよいのです。
これを満たすyの範囲は、先に計算した範囲を考慮すると、-π/4≦y≦π/4

知りたいのはxの範囲なので、y=2x -π/4 を代入して
-π/4≦2x -π/4≦π/4
これをxの不等式で示せばよいだけなので
-π/4 +π/4≦2x -π/4 +π/4≦π/4 +π/4
0≦2x≦π/2
0≦x≦π/4

ここまで来て、一つだけ問題がでてきます。
x=0で成り立つのであれば、x=πでも成り立つからです。
よって、0≦x≦πの範囲での解答でなければならないことから、
0≦x≦π/4 又は  x=π が解答になります。
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√2cos(2x-π/4)≧1


cos(2x-π/4)≧1/√2 ・・・・・ ①
と変形して単位円で考えればよい。

x の範囲は
0≦x≦π より
0≦2x≦2π
-π/4≦2x-π/4≦(7/4)π

単位円と直線 y=1/√2 のグラフをかき、
①から y=1/√2 の上側が答えになる部分で、直線上も含む。

図から、
2x-π/4=π/4, 3π/4
2x=π/2, π
x=π/4, π/2
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y=sinθとy=√3/2のグラフを描きましょう。


交点が分かればビジュアル的に答えが解ってしまうでしょう。
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