質問です。水平面とのなす角度がθである斜面があり、その上を運動する物体と斜面の間の動摩擦係数をμとす

質問です。水平面とのなす角度がθである斜面があり、その上を運動する物体と斜面の間の動摩擦係数をμとする。物体を斜面にそって上方にちょうど距離Dだけ滑らせるためにはどれだけの初速度で物体を投射しなければならないか？(1)斜面にそって上向きにX軸を、斜面と垂直な方向にY軸をとり、各成分の運動方程式を立てよ。微分方程式を解くことによって解を求めよ。なおθは摩擦角より小さいとする。お願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/08 18:27

与えられたとおりに式を立ててみればよいだけです。

指定された通り、斜面にそって上向きにX軸を、斜面と垂直な上方向にY軸をとります。
物体の質量が必要なので m とします。

（１）働く重力は鉛直下向きに mg なので、重力の斜面方向成分は
　　　Fx = -mg*sinθ
斜面と垂直方向成分は
　　　Fy = -mg*cosθ
です。

（２）従って、物体が斜面から受ける垂直抗力は
　　　Nx = mg*cosθ
物体が斜面上向きに滑るときに生じる摩擦力は
　　　Ty = -μNx = -μmg*cosθ
となります。

（３）以上より、運動方程式は
・斜面方向（X方向）
　　　max = -mg*sinθ - μmg*cosθ
・斜面垂直方向（Y方向）
　　　may = 0

（４）X方向の運動方程式を解いて
　　ax = -g*sinθ - μg*cosθ　　　①
これを積分して
　　vx(t) = -(g*sinθ + μg*cosθ)t + C1
t=0 のときに与える初速度を V0 とすると
　　C1 = V0
よって
　　vx(t) = -(g*sinθ + μg*cosθ)t + V0　　　②
最高点では v(t) = 0 となるので、そのときの時間 t1 は
　　-(g*sinθ + μg*cosθ)t1 + V0 = 0
より
　　t1 = V0 / (g*sinθ + μg*cosθ)　　　③

②をさらに積分して
　　x(t) = -(1/2)(g*sinθ + μg*cosθ)t^2 + V0*t + C2
t=0 の投射位置を x(0) = 0 とすると、C2 = 0 で
　　x(t) = -(1/2)(g*sinθ + μg*cosθ)t^2 + V0*t

これが③の t1 のときに x(t1) = D となるので
　　x(t1) = -(1/2)(g*sinθ + μg*cosθ)*[V0/(g*sinθ + μg*cosθ)]^2 + V0*[V0/(g*sinθ + μg*cosθ)]
　　　　　= (1/2)V0^2 /(g*sinθ + μg*cosθ)
　　　　　= D
従って
　　V0^2 = 2D(g*sinθ + μg*cosθ)
より
　　V0 =√[ 2D(g*sinθ + μg*cosθ) ]