交流回路の計算問題で http://www.geocities.jp/horahuki_douji3

交流回路の計算問題で
http://www.geocities.jp/horahuki_douji3/H21denke …
この問題の解説についてどうしてもわからない所が2つあるのですが、
別々の解法によるので分けて質問させて下さい。

補足にある画像の解説はrを極小さい値なのでほぼ0とみなして2行目の式になっているという理解でいいでしょうか

そうなると(r=0と考えると)Y1のr/(ωL)^2のrも0に近くなるので

0/(ωL)^2となり、ほぼ0で無視できるので

Y1=jωc-j{1/(ωL)}

になるのではと考えたのですが実際にはなぜr/(ωL)^2でこの項を0と置けないのでしょうか

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/17 14:00

No.1です。

「お礼」に書かれた

＞>回答の例ですと1よりr/ωLが無次元の比率となりr<<ωLなので無視できる
＞とありますが、

とはどこのことですか？　No.1 にそんなことは書いていませんよ。

「「r/ωL」も小さいのだが、オーダー的に無視できない」とちゃんと書いています。

＞1/0.1は無視できないけ二乗の1/0.1*0.1は小さいので無視出来るという理屈は理解できるのですが…

勝手に「分母だけ」2回かけてはだめです。「1/100 が無次元で小さいなら、(1/100)^2：無次元でかなり小さい、(1/100)^3：無次元でものすごく小さい、(1/100)^4 ･･･」と分子・分母同じ次元で考えなくてはだめです。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました！
1/ωL=1/2πfL(Ω)で単位がある物理量そのもの
r/ωLはΩ/Ωで無次元の比率になるのでそのオーダーを考慮して無視できる場合もある
その場合分子、分母丸ごとで考えないとだめ

こういう考えでいいでしょうか。

お礼日時：2017/06/18 08:22

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/17 13:09

これは近似の考え方を学ばないといけないですね。

まず、絶対値が 1 よりかなり小さい数 a を考え、以下の数列を考えてみます。

S = 1 + a + a^2 + a^3 + ・・・・・・ a^(n-1) (n は整数)

aS - S = a^n -1 なので S = (1 - a^n)/(1-a)

|a| < 1 で n が十分に大きければ a^n は 0 にみなしてよいので

S≒1/(1-a) ということになります。ここで a = -b と置くと

S = 1 - b + b^2 - b^3 + ・・・・・・ (-b)^(n-1) (n は整数) ≒1/(1+b)

例えば a = 0.01 n = 4 とすると

S = 1.01010101
1/(1-0.01)=1.01010101010101・・・・

とほぼ一致します。つまり

1/(1-a) という計算は a の絶対値が小さければ
S = 1 + a + a^2 + a^3＋・・・・・・

という計算に置き換えても大きな問題はないということになります。

でも、 S を計算するとき、n をいくつにするかという問題は残ります。

上の例なら n = 2 でも

S = 1.0101, 1/(1-0.01)=1.01010101010101・・・・

ですから6桁もあってます。

では n=1 にすると

S = 1.01, 1/(1-0.01)=1.01010101010101・・・・

ですから４桁あってますが

n = 0 にすると

S = 1., 1/(1-0.01)=1.01010101010101・・・・

ですから2桁しか合いません。

こういうのを n次近似と言って、nが大きいほど、より高精度な計算が可能です。


＞補足にある画像の解説はrを極小さい値なのでほぼ0とみなして2行目の式になっているという理解でいいでしょうか

これは n = 1 つまり1次近似で計算しています。コイルの内部抵抗を並列共振回路の並列抵抗に置き換える
計算の場合、1次近似以上じゃないと具合が悪いですね。

＞0/(ωL)^2となり、ほぼ0で無視できるので

これは 0次近似。もっとも大胆な近似方法です(^^;
r を 0 とみなして無視するので　Rp は無限大になってしまう。それだけです。

それで問題なければよいのですが、まっとうにRp の値を見積るなら、この問題の場合
1次近似以上でないと求まらないですね。

２次近似以上でどうなるかを考察するのも面白いでしょう。

尚、この手の議論には、微積分の知識が必須です。上の話は微積の必要のないほんの入口の部分です。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。苦手な分野ですが理解できるように頑張ります。

お礼日時：2017/06/17 13:38

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/17 09:37

＞補足にある画像の解説はrを極小さい値なのでほぼ0とみなして2行目の式になっているという理解でいいでしょうか

はい。声明文にも「題意より、r << ωL とすると」と書いてありますよね？

Y1 = jωC + 1/(r + jωL)
= jωC + (r - jωL)/[ (r + jωL)(r - jωL) ]　←第2項の分母を有利化するために、第2項の分子・分母に(r - jωL)をかける
= jωC + (r - jωL)/[ r^2 - (jωL)^2 ]
= jωC + (r - jωL)/[ r^2 + (ωL)^2 ]
= r/[ r^2 + (ωL)^2 ] + jωC - jωL/[ r^2 + (ωL)^2 ]

ここで、r << ωL より、(r/ωL)^2 <<1 なので
　1/[ r^2 + (ωL)^2 ] = 1/{ (ωL)^2 *[ (r/ωL)^2 + 1 ] } ≒ 1/(ωL)^2
なので

Y1 ≒ r/(ωL)^2 + jωC - jωL/(ωL)^2
　　= r/(ωL)^2 + jωC - j/ωL

＞そうなると(r=0と考えると)

いいえ、r=0 とは考えていませんよ！
ここで考えているのは、たとえば
　r=1, ωL=100
のような場合で、当然 r≠0 ですし、
　r/ωL = 1/100 = 0.01
で無視はできませんが、
　(r/ωL)^2 = 1/10000 = 0.00001
なので、こちらは無視できるとみなせるということです。

この場合でも
　r/ωL^2 = (r/ωL) × (1/ωL)　　　①
なので、(1/ωL) の値の 0.01 である「r/ωL^2」は無視できません。分母と分子の「次元」が等しいときのみ、その「割り算」が無次元の「比率」になりますので、その「比率」の「オーダー（有効桁）」を考慮して無視できるかどうか判断します。
①の場合、「(r/ωL)」が「無次元の比率」ですが、「(1/ωL)」は物理量そのものです。

「 r の絶対値」ではなくあくまで『 ωL に対して小さい』ということです。しかも、無視できるとみなすのは「r/ωL」ではなくその二乗の「(r/ωL)^2 」です。「r/ωL」も小さいのだが、オーダー的に無視できない、それが「(r/ωL)^2 」になると「極めて小さい」になる、ということです。もちろん、「r/ωL」の値によっては「(r/ωL)^2 」も無視できないことも多いです。あくまで「 r << ωL 」という条件下です。

この「根本の考え方」を理解していないようですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！分母と分子の比を考慮していたのですね。とても勉強になりました。

>分母と分子の次元が等しい時のみその割り算が無次元の比率となる

というのはr/ωLの場合無次元の比率だけど割り算する前は次元が等しかったという意味ですか？同じ(Ω)で。
割り算した後はΩ/Ωで無次元になるという事でしょうか

また

>回答の例ですと1よりr/ωLが無次元の比率となりr<<ωLなので無視できる

とありますが、1式より
r/(ωL)^2=(r/ωL)×(1/ωL)
となり、r/(ωL)の方は無視できるので
r/(ωL)^2=1/ωL
となってしまい
>r/(ωL)^2は無視できません
と違ってしまうと思うのですがどう考えればいいのでしょうか。

1/0.1は無視できないけ二乗の1/0.1*0.1は小さいので無視出来るという理屈は理解できるのですが…

お礼日時：2017/06/17 13:36