No.2ベストアンサー
- 回答日時:
置換積分の公式
∫[a→b]f(x)dx = ∫[c→d]f(x)(dx/du)du = ∫[c→d]f(g(u))g'(u)du
x=g(u), c=g(a), d=g(b)
を使っています。
この公式で
x→τ、f(x)→v(τ)
と置き換えれば(どちらにも違った意味の x があるので、x を使わない式にするため)
∫[a→b]v(τ)dτ = ∫[c→d]v(τ)(dτ/du)du = ∫[c→d]v(g(u))g'(u)du
となって、ここで
g(u)=u, v(τ)=du/dτ
にすれば、v(u)=1, g'(u)=dg/du=1 なので
∫[a→b]v(τ)dτ = ∫[c→d]du
c=g(a)=g(0)=0, d=g(b)=g(t)=t
です。
機械的に当てはめるとこうなります。
ありがとうがざいます。そのようなプロセスが隠されていたんですね。回答を紙に鉛筆で再現してちゃんと理解したいと思います。
質問する前は、この謎の変形(私にとってはですが)がわからなくても
∫(t→0)(dx/dτ)dτ の原始関数はx(τ)だから [x(τ)](t→0)=x(t)-x(0)
と同じ結果は導けるようなのでわからなくとも、ま、いいかとも思ったんですが、なんか気になって質問してみました。
その不可解な謎を解き明かしてくださり助かりました。ありがとうございました。すごいですね。
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もう少し具体的に説明していただけるとありがたいのですが。